最短路线的完全解析
内容简介：本文对2010年福建省高考中的一道解三角形应用问题进行了深入探究，调动了多个章节的知识点参与解析，使得一个理想化的最短路线得到了合理的解释。
在教学中有些问题看似简单，但要合理地给予解释，
却并不容易，下面这个例子就反映了这种现象。
例题： 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处2
（3 －1）千米的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2千米的C处的缉私艇奉命以103 千米每小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10千米每小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私艇沿什么方向能最快追上走私船？
E 2
D F B C A 解析：要使最快，只需直线追截，可设恰在走私船逃窜方向的D处追上，此时可解△CBD，由CD与BD分别对应
两船在同时段所行路程可设用时为t，即可表示出两边之长，进而依据正弦定理便可求出∠BCD=30°. 一般情况下，大家都认可这种方法，但是往深里想，为什么这样就是最短，若不按这个方向又是怎么样的情况，就很难说得明白。现在我用纯粹的数学理论对其加以解释。(注：设BC=c, BD=a,CD=b,缉私艇速度为v1,走私船速度为v2，∠BCD=ɑ，∠BCF=β，∠BCE=γ,b>a)
⑴假设直线追截交会于点D，用时为t1,∠BCD=ɑ，则有t1 =b／v1=a／v2，
⑵若航向不同于ɑ，则分两类 ①小于ɑ，设过C沿β角方向交BD于点F，设DF=x,则易得b／a<(b-x)／(a-x)即有CF段缉私艇用时大于BF段走私船用时，则依此路线，须再沿FD方向追逐，设再须追y千米，由⑴知t1 =b／v1=a／v2＝（b－ａ）∕（v1-v2）,而b-a=b-(x+BF)(b+DE)∕（a+DE）>CE∕BE,即有CE段缉私艇用时小于BE段走私船用时，也就是缉私艇先到点E，以此路线缉私艇须再沿ED方向折返去堵截走私船，显然总用时t3大于t1.（注：仅CE段路程已大于CD，即用时必超过t1） 综合以上，t1最小。有力地说明了原作法是可行的，是有理论解释的。这说明任何问题只要善于动脑，善于思考，总是可以解决的。希望大家在以后的教学与学习中多问几个为什么，多做一些有益的思维训练。
