高考清华大学自主招生数学试题.doc

来源：华佗小知识

2006届清华大学自主招生数学试题

2005年11月28日

1．求最小正整数n，使得I(11i)n为纯虚数，并求出I． 223442．已知a、b为非负数，Mab,ab1，求M的最值．

3．已知

sin、cossin、sin、cos为等差数列，sin、1cos2的值． 2为等比数列，求

cos24．求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积．

5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数． 6．

yx2上一点P(非原点)，在P 处引切线交x、y轴于Q、R，求

PQPR．

7．已知f(x)满足：对实数a、b有f(ab)af(b)bf(a)，且f(x)1，求证f(x)恒为零．

(可用以下结论：若limg(x)0,f(x)M，M为一常数，那么lim(f(x)g(x))0)

xx8．在所有定周长的空间四边形ABCD中，求对角线AC和BD的最大值，并证明．

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