(整理)计算机数值方法试题

数值计算方法试题

一、 填空（共20分，每题2分）

1、设

，取5位有效数字，则所得的近似值x=_____.

2、设一阶差商

，

则二阶差商

3、数值微分中，已知等距节点的函数值 则由三点的求导公式，有 4、求方程 那么

的近似根，用迭代公式

，取初始值

，

5、解初始值问题

近似解的梯形公式是

6、 ，则A的谱半径 ＝ ，A的 ＝

7、设

=

，则＝ 和

8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_____

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____

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10、设 ，当 时，必有分解式 ，其中L为下三

角阵，当其对角线元素

足条件 时，这种分解是唯一的。

二、计算题 （共60 分，每题15分）

1、设 （1）试求

在

上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足

H（x）以升幂形式给出。

（2）写出余项

的表达式

2、已知

的

满足

，试问如何利用

构造一个

收敛的简单迭代函数

，使

0，1…收敛？

3、 试确定常数A，B，C和 ，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？

4、 推导常微分方程的初值问题

的数值解公式：

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三、证明题 1、 设 （1） 写出解

的Newton迭代格式

（2） 证明此迭代格式是线性收敛的 2、 设R=I－CA，如果

，证明：

（1）A、C都是非奇异的矩阵

（2）

参： 一、填空题

1、2.3150

2、

3、 4、1.5

5、

6、

7、 8、 收敛 9、O（h）

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10、 二、计算题

1、1、（1）

（2）

2、由

，可得

因

故

故

，k=0,1,…收敛。

3、 ，该数值

求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的

4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 分，得

在区间

上积

，记步长为h,对积分

用Simpson求积公式得

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所以得数值解公式：

三、证明题 1、证明：（1）因

，故

，由Newton迭代公式：

n=0,1,…

得 ，n=0,1,…

（2）因迭代函数

又

，则

，而

，

故此迭代格式是线性收敛的。

2、证明：（1）因

，所以I–R非奇异，因I–R=CA，所以C，A都是非

故

则有

奇异矩阵 (2)

（2.1）因CA=I–R，所以C=（I–R）A-1，即A-1=（I–R）-1C

又RA=A–C，故

-1

-1

由

结论）

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（这里用到了教材98页引理的

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移项得

(2.2)

结合（2.1）、(2.2)两式，得

模拟试题

一、 填空题（每空2分，共20分）

1、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 ＿＿＿＿＿＿＿收敛

2、 迭代过程 （k=1,2,…）收敛的充要条件是

＿＿＿

3、 已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是＿＿＿ 4、 高斯--塞尔德迭代法解线性方程组

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

的迭代格式中求

5、 通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足＿＿＿＿＿＿＿，则p(x)是不超过二次的多项式

6、 对于n+1个节点的插值求积公式

至少具有＿＿＿次代数精度.

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7、 插值型求积公式 的求积系数之和

＿＿＿

8、 ,为使A可分解为A=LL, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的

T

取值范围＿

9、 若

则矩阵A的谱半径

(A)= ＿＿＿

10、解常微分方程初值问题 的梯形格式

是＿＿＿阶方法

二、 计算题（每小题15分，共60分）

1、 用列主元消去法解线性方程组

2、 已知y=f（x）的数据如下 x 0 2 3 3 2 f（x） 1 求二次插值多项式 3、用牛顿法导出计算

及f（2.5） 的公式，并计算

，要求迭代误差不超过

。

4、 欧拉预报--校正公式求解初值问题

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取步长k=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. 三、证明题 （20分 每题 10分 ）

1、 明定积分近似计算的抛物线公式

具有三次代数精度

2、 若

的几何意义。

，证明用梯形公式计算积分 所得结果比准确值大，并说明这个结论

参：

一、 填空题

1、局部平方收敛 2、< 1 3、 4 4、 5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 8、 法 二、计算题

9、 1 10、 二阶方

1、 2、

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3、 ≈1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位)

4、y(0.2)≈0.01903 三、证明题

1、证明：当

=1时，公式左边：

公式右边：

左边==右边

当

=x时

左边：

右边： 左

边==右边 当

时 左边：

右边：

左边==右边

当 时 左边：

右边：

左边==右边

当

右边：

时 左边：

故 具有三次代数精度

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2、证明：略

数值计算方法试题

一、 填空题（每空1分，共17分）

1、如果用二分法求方程x3x40在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式（ ）。

2xk1xk(xk2)局部收敛的充分条件是取值在

x30x1S(x)132(x1)a(x1)b(x1)c1x323、已知是三次样条函数，

则

a=( )，b=（ ），c=（ ）。

l0(x),l1(x),,ln(x)是以整数点x0,x1,,xn为节点的Lagrange插值基函4、数，则

lk0nk0nk(x)4k( )，

xlk0nkj(xk)( )，当n2时

(x2xk3)lk(x)( )。

7425、设f(x)6x2x3x1和节点xkk/2,k0,1,2,,则f[x0,x1,,xn] 7和f0

。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

(x)kk0是区间[0,1]上权函数(x)x的最高项系数为1的正交多项7、

式族，其中0(x)1，则01x4(x)dx 。

x1ax2b18、给定方程组ax1x2b2，a为实数，当a满足 ，且02时，SOR迭代法收敛。

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9、解初值问题

yf(x,y)y(x0)y0的改进欧拉法

[0]yn1ynhf(xn,yn)h[0]yy[f(x,y)f(x,yn1nnnn1n1)]2是

阶方法。

10aA01aaa1，当a（ ）时，必有分解式ALLT 10、设

其中L为下三角阵，当其对角线元素lii(i1,2,3)满足（ ）

条件时，这种分解是唯一的。 二、 二、选择题（每题2分）

(k1)Bx(k)g收敛的充要条件是1、解方程组Axb的简单迭代格式x（ ）。

（1）(A)1, (2) (B)1, (3) (A)1, (4) (B)1

2、在牛顿-柯特斯求积公式：

b中，当系数Ci是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（1）n8， （2）n7， （3）n10， （4）n6， 3、有下列数表 ai0f(x)dx(ba)Ci(n)f(xi)n(n)x f(x) 0 -2 0.5 -1.75 1 -1 1.5 0.25 2 2 2.5 4.25 所确定的插值多项式的次数是（ ）。 （1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次

hhyn1ynhf(xn,ynf(xn,yn))244、若用二阶中点公式求解初值问题

y2y,y(0)1，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为

（ ）。

(1)0h2, (2)0h2, (3)0h2, (4)0h2

三、1、（8分）用最小二乘法求形如yabx的经验公式拟合以下数据： xi 219 25 30 38 精品文档

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yi 19.0 32.3 49.0 73.3 1x0e2、（15分）用n8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算dx时，

(1) (1) 试用余项估计其误差。

（2）用n8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。

四、1、（15分）方程x3x10在x1.5附近有根，把方程写成三种

3不同的等价形式（1）x3x1对应迭代格式xn1xn1；(2)

x11x

对应迭代格式

xn11133xn；xx1。判n1nxx1（3）对应迭代格式

断迭代格式在x01.5的收敛性，选一种收敛格式计算x1.5附近的根，

精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组AXf，其中

4324

30A341f24 14，

（1） （1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。

（2） （2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。

dyy1dxy(0)1用改进的欧五、1、（15分）取步长h0.1，求解初值问题拉法求y(0.1)的值；用经典的四阶龙格—库塔法求y(0.1)的值。

2、（8分）求一次数不高于4次的多项式p(x)使它满足

p(x0)f(x0),p(x1)f(x1),p(x0)f(x0),p(x1)f(x1),p(x2)f(x2)

六、（下列2题任选一题，4分） 1、 1、 数值积分公式形如

（1） （1） 试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高；（2）设f(x)C[0,1]，推导余项公式

误差。

2、 用二步法

4xf(x)dxS(x)Af(0)Bf(1)Cf(0)Df(1)

01R(x)xf(x)dxS(x)01，并估计

2、

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yn10yn1yn1h[f(xn,yn)(1)f(xn1,yn1)]

yf(x,y)求解常微分方程的初值问题y(x0)y0时，如何选择参数0,1,使方

法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。

数值计算方法试题

一、判断题：（共16分，每小题２分）

１、若A是nn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵

U，使ALU唯一成立。 （ ） ２、当n8时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。 （ ）

i13、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代

数精确度的次数为2n1。 （ ）

bnaf(x)dxAif(xi)210A111012的２－范数A2＝９。４、矩阵（ ）

2aa0A0a000a，5、设则对任意实数a0，方程组Axb都是病态的。

（用） （ ）

TnnnnQQRAR6、设，，且有QI（单位阵），则有A2QA2。

（ ）

7、区间a,b上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且唯一。（ ）

8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：

223100223A4772100b12451a1006，则a,b的值分别为a2，b2。

（ ） 二、填空题：（共20分，每小题2分）

8421、设f(x)9x3x21x10，则均差

018019 f[2,2,,2]__________，f[3,3,,3]__________。

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2、设函数f(x)于区间a,b上有足够阶连续导数，pa,b为f(x)的

f(xk)xk1xkm'f(xk)的收敛阶至少m一个重零点，Newton迭代公式

是 __________阶。

３、区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到

__________阶的连续导数。

72AT31X(1,2)，则 4、向量,矩阵

AX1__________，cond(A)__________。 5、为使两点的数值求积公式：11f(x)dxf(x0)f(x1)具有最高的代

数精确度，则其求积基点应为x1__________，x2__________。 6、设ARnn，ATA，则(A)（谱半径）__________A2。（此处

填小于、大于、等于）

1A2147、设

01limAk2，则k__________。

三、简答题：（9分）

1、 1、 方程x42x在区间1,2内有唯一根x*，若用迭代公式：

xk1ln(4xk)/ln2 (k0,1,2,)，则其产生的序列xk是否收敛于x*？说明理由。

2、 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主

元的技术？ 3、 3、 设x0.001，试选择较好的算法计算函数值四、（10分）已知数值积分公式为：

f(x)1cosxx2。

h0hf(x)dx[f(0)f(h)]h2[f'(0)f'(h)]2，试确定积分公式中的参

数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 五、（8分）已知求a(a0)的迭代公式为：

证明：对一切k1,2,,xka，且序列xk是单调递减的， 从而迭代过程收敛。

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xk11a(xk)2xkx00k0,1,2精品文档

3六、（9分）数值求积公式0式？为什么？其代数精度是多少？ 七、（9分）设线性代数方程组AXb中系数矩阵A非奇异，X为精确

~~3f(x)dx[f(1)f(2)]2是否为插值型求积公

解，b0，若向量X是AXb的一个近似解，残向量rbAX，

XX~证明估计式：

相容）。

Xcond(A)rb（假定所用矩阵范数与向量范数

八、(10分)设函数f(x)在区间0,3上具有四阶连续导数，试求满足 下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式H(x)，并导出其余项。 i xi 0 0 -1 3 1 1 1 2 2 3 f(xi) f'(xi) 九、(9分)设n(x)是区间[a,b]上关于权函数w(x)的直交多项式序列，xi(i1,2,,n,n1)为n1(x)的零点，

li(x)(i1,2,,n,n1)是以xi为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基

函数，

baf(x)w(x)dxAkf(xk)k1n1为高斯型求积公式，证明：

（1） （1）当0k,jn,kj时， （2）abAii1n1k(xi)j(xi)0

lk(x)lj(x)w(x)dx0bb(kj)

（3）k1a十、（选做题8分）

n1lk2(x)w(x)dxw(x)dxa

若f(x)n1(x)(xx0)(xx1)(xxn)，

xi(i0,1,,n)互异，求f[x0,x1,,xp]的值，其中pn1。

数值计算方法答案 一、 一、填空题（每空1分，共17分）

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1、（ 10 ） 2、（（ 1 ）

(22,0)(0,)22） 3、a=( 3 )，b=（ 3 ），c=

7!6945236.25427x4j4、( 1 )、 ( )、( xx3) 5、 6 、2 6、

9 7、 0 8、a19、 2 10、（

22,22 ）、

（ lii0 ）

二、 二、选择题（每题2分） 1、（(2)） 2、（（1）） 3、（（1）） 4、（（3））

2三、1、（8分）解：span{1,x}

1T252312382 y19.032.349.073.3 TT解方程组 AACAy

T1A2191133914173.6TATAAy03179980.7339135296  其中

0.9255577C0.0501025 所以 a0.9255577， b0.05010 2解得：

2、（15分）解：

RT[f]ba2111hf()2e00.00130212128768

7hT(8)[f(a)2f(xk)f(b)]2k1 1[12(0.88249690.77880080.60653066160.53526140.472366550.41686207)0.36787947]

0.6329434

1(x)(x1）3（1.5）0.181，故收敛；3四、1、（15分）解：（1），

1(x)12x211.5）0.171，故收敛； x，（（2）

222（1.5）31.51，故发散。 (x)3x（3），

选择（1）：x01.5，x11.3572，x21.3309，x31.3259，x41.3249， x51.32476，x61.32472

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Steffensen迭代：

xk1((xk)xk)2xk((xk))2(xk)xk

xk(3xk1xk)233xk1123xk11

计算结果：x01.5，x11.3249，x21.324718 有加速效果。

1(k1)(k)x(243x2)141(k1)(k)x2(303x1(k)x3)41(k1)(k)x(24x32)4k0,1,2,3,2、（8分）解：Jacobi迭代法： 1(k1)(k)x(243x)1241(k1)(k)x2(303x1(k1)x3)41(k1)(k1)x(24x2)34k0,1,2,3,Gauss-Seidel迭代法：

0341BJD(LU)3043040345(或10)0.790569(B)0J84，

(k1)(k)(k)x(1)x(243x)1124(k1)(k)(k)x2(1)x2(303x1(k1)x3)4(k1)(k)(k1)x(1)x(24x)3324k0,1,2,3,SOR迭代法：

五、1、（15分）解：改进的欧拉法：

(0)yn1ynhf(xn,yn)0.9yn0.1h(0)yy[f(x,y)f(x,yn1nnnn1n1)]0.905yn0.0952 所以y(0.1)y11；

经典的四阶龙格—库塔法：

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hyy[k12k22k3k4]nn16k1f(xn,yn)hhkf(x,yk1)2nn22hhk3f(xn,ynk2)22k4f(xnh,ynhk3)k1k2k3k40，所以y(0.1)y11。

H3(xi)f(xi)(xi)f(xi)i0,1的HermiteH(x)2、（8分）解：设3为满足条件H3插值多项式， 则

p(x)H3(x)k(xx0)2(xx1)2

代入条件p(x2)f(x2)得：

k六、（下列2题任选一题，4分）

231、解：将f(x)1,x,x,x分布代入公式得：

f(x2)H3(x2)(x2x0)2(x2x1)2

A3711,B,B,D20203020

H3(xi)f(xi)(xi)f(xi)i0,1其中H(x)构造Hermite插值多项式3满足H3x00,x11

f(4)()22f(x)H(x)x(x1)xH(x)dxS(x)34!则有：03，

12、解：

Rn,hf(4)()3R(x)x[f(x)S(x)]dxx(x1)2dx004! f(4)()13f(4)()f(4)()2x(x1)dx04!4!601440

11h2h3y(xn1)yn1y(xn)hy(xn)y(xn)y(xn)2!3!h2h30y(xn)1(y(xn)hy(xn)y(xn)y(xn))2!3!h2h3(4)h[y(xn)(1)(y(xn)hy(xn)y(xn)y(xn)]2!3!

(101)y(xn)h(111)y(xn)111h2(11)y(xn)h3(1)y(xn)O(h4)22662

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1001011010113102 所以22 53hy(xn)主项：12 该方法是二阶的。

数值计算方法试题

一、（24分）填空题

(1) (1) (2分)改变函数f(x)x1x (x1)的形式，使计

算结果较精确

。

(2) (2) (2分)若用二分法求方程fx0在区间[1,2]内的根，要

求精确到第3位小数，则需要对分 次。

2x12x2fxxx12，则f'x (3) (3) (2分)设

2x3,0x1Sx32xaxbxc,1x2是3次样条函数，(4) (4) (3分)设

则

a= , b= , c= 。 (5) (5) (3

分)若用复化梯形公式计算10exdx，要求误差不超过

106，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。

x11.6x21(6) (6) (6分)写出求解方程组0.4x1x22的Gauss-Seidel迭

代公式

，

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迭代矩阵

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为 ， 此迭代法是否收敛 。

54A43,则A ，分)设

(7) (7) (4

CondA 。

(8) (8) (2分)若用Euler法求解初值问题y'10y,y01，为

保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为 二. (分)

(1) (1) (6分)写出求方程4xcosx1在区间[0,1]的根的收敛的迭

代公式，并证明其收敛性。

(2) (2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的

近似值，并利用余项估计误差。

xfxe(3) (10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项

(4) 式。

(5) (4) (10分)用复化Simpson公式计算积分

似值，要求误差限为0.5105。

(6) (5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

x14x22x3243x1x25x3342x6xx2723 1

135x112x21121 的最小二乘解。 (7) (6) (8分)求方程组 Isinxdx0x的近

1(8) (7) (8分)已知常微分方程的初值问题：

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dydxxy,1x1.2 y(1)2

.)的近似值，取步长h0.2。 用改进的Euler方法计算y(12三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)

(1) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：

p115，p'120，p''130，p257，p'272

(2) (2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求

出其代数精度：

1xfxdxAfA1f1002

1101A11的模最大的特征值及其(3) (3) (6分)用幂法求矩阵

相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距

T1,0离小于0.05，取特征向量的初始近似值为。

(4) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题

y'xfx,yx,axb,yay0

的形式为 yi1yih0fi1fi1,i=1,2,…,N

的公式，使其精度尽量高，其中fifxi,yi, xiaih, i=0,1,…,N,

hbaN

(5) (5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题

y''pxy'qxyrx0,axby'a0,yb0 所得到的三对角线性方程

组。

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数值计算方法试题答案

一、 一、判断题：（共10分，每小题２分） 1、（ Ⅹ ） 2、（ ∨ ） 3、（ Ⅹ ） 4、（ ∨ ） 5、（ Ⅹ ） 6、（ ∨ ）7、（ Ⅹ ） 8、（ Ⅹ ） 二、 二、填空题：（共10分，每小题2分） 1、98!、0 2、__二___ 3、__二___4、_16 、90__5、= 7、0

三、 三、简答题：（15分）

1、 1、 解：迭代函数为(x)ln(4x)/ln2

'(x)111114xln242ln2

13,136、

2、 2、 答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主

(k)akk元素全不为

0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使det(A)0，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，但若主元素akk的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免

(k)akk主元素=0

(k)(k)akk或很小的情况发生，从而不会使计算中断或

因误差扩大太大而使计算不稳定。 3、

2nx2x4nxcosx1(1)2!4!(2n!)3、 解：

2nx2x4n1x1cosx(1)2!4!(2n!)

2n21x2n1xf(x)(1)2!4!(2n!)

四、 四、解：f(x)1显然精确成立；

f(x)x时，0hh2hxdx[0h]h2[11]22；

h2h3hh3122xdx[0h]h[02h]2hf(x)x2时，032212； f(x)x3时，0hh4h1xdx[0h3]h2[03h2]4212；

3f(x)x4时，0hh5h12h543xdx[0h]h[04h]52126；

4所以，其代数精确度为3。

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五、 五、证明：

xk11a1a(xk)2xka2xk2xkk0,1,2

故对一切k1,2,,xka。

xk11a1(12)(11)12xk又xk2 所以xk1xk，即序列xk是单调递减有

下界，

从而迭代过程收敛。

六、 六、解：是。因为f(x)在基点1、2处的插值多项式为

x2x1f(1)f(2)1221 33p(x)dx[f(1)f(2)]2 0。其代数精度为1。

p(x)七、 七、证明：由题意知：AXb,AXbr

A(XX)rXXArXXA1r~~1~~

A1AXbbAXAXXb 又

XX~

所以

XAA1rbcond(A)Ab。

八、解：设H(x)N2(x)ax(x1)(x2)

1N2(x)f(0)f[0,1](x0)f[0,1,2](x0)(x1)12x(x0)(x1)2

1H(x)12xx(x1)ax(x1)(x2)2所以

由H(0)3得：所以

H(x)'a14

1352xx3x144

2令R(x)f(x)H(x)，作辅助函数g(t)f(t)H(t)k(x)t(t1)(t2)

2 则g(t)在[0,3]上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：tx,0,1，反复利用罗尔定理可得：

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(4)f()k(x)4!，(g(4)()0)

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f(4)()2R(x)f(x)H(x)k(x)x(x1)(x2)x(x1)(x2)4!所以

2k1九、 的高斯（Gauss）型求

积公式具有

最高代数精度2n+1次，它对f(x)取所有次数不超过2n+1

次的多项式均精确成立

a九、证明：形如

bf(x)w(x)dxAkf(xk)n11）i1Ain1k(xi)j(xi)k(x)j(x)w(x)dx0ab

0ijli(xj)1ij 2）因为li(x)是n次多项式，且有

l 所以

abk(x)lj(x)w(x)dxAilk(xi)lj(xi)0i1n1(kj)

223）取f(x)li(x)，代入求积公式：因为li(x)是2n次多项式，

所以

2kbali(x)w(x)dxAj[li(xj)]2Aij1n1k1bn1

k1故结论成立。 十、 十、解：

aln1b(x)w(x)dxAkw(x)dxa

f[x0,x1,,xp]i0pf(xi)(xj0jip0pnixj)

f(n1)()f[x0,x1,,xn1]1(n1)!

数值计算方法试题

一、（24分）填空题

(9) (1) (2分)改变函数f(x)x1x (x1)的形式，使计

算结果较精确

。

(10) (2) (2分)若用二分法求方程fx0在区间[1,2]内的根，要

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求精确到第3位小数，则需要对分 次。

2x12x2fxxx12，则f'x (11) (3) (2分)设

2x3,0x1Sx32xaxbxc,1x2是3次样条函数，(12) (4) (3分)设

则

a= , b= , c= 。 (13) (5) (3

分)若用复化梯形公式计算10exdx，要求误差不超过

106，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。

x11.6x21(14) (6) (6分)写出求解方程组0.4x1x22的Gauss-Seidel迭

代公式

，为 ， 此迭代法是否收敛 。

54A43,则A ，分)设

迭代矩阵

(15) (7) (4

CondA 。

(16) (8) (2分)若用Euler法求解初值问题y'10y,y01，为

保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为 二. (分)

(9) (1) (6分)写出求方程4xcosx1在区间[0,1]的根的收敛的迭

代公式，并证明其收敛性。

(10) (2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的

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近似值，并利用余项估计误差。

(11) (3) (10分)求fxe在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项

x式。

(12) (4) (10分)用复化Simpson公式计算积分

似值，要求误差限为0.5105。

(13) (5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

x14x22x3243x1x25x3342x6xx2723 1

135x112x21121 的最小二乘解。 (14) (6) (8分)求方程组 Isinxdx0x的近

1(15) (7) (8分)已知常微分方程的初值问题：

dydxxy,1x1.2 y(1)2

.)的近似值，取步长h0.2。 用改进的Euler方法计算y(12三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)

(6) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：

p115，p'120，p''130，p257，p'272

(7) (2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求

出其代数精度：

1xfxdxAfA1f1002

1101A11的模最大的特征值及其(8) (3) (6分)用幂法求矩阵

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相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距

T1,0离小于0.05，取特征向量的初始近似值为。

(4) (6分)推导求解常微分方程初值问题 y'xfx,yx,axb,yay0

的形式为 yi1yih0fi1fi1,i=1,2,…,N 的公式，使其精度尽量高，其中fifxi,yi, xiaih, (9)

(10) i=0,1,…,N,

hbaN

(11) (5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题

y''pxy'qxyrx0,axby'a0,yb0 所得到的三对角线性方程

组。

数值计算方法试题答案

一.(24分) (1) (2分)

fx1x1x (2) (2分) 10

2x1(3) (2分) x22x2x1 (4) (3分) 3 -3 1 (5) (3分) 477

kx1k111.6x201.6,k0,1,k1k100.x20.4x1 收敛 (6) (6分) 2(7) (4分) 9 91 (8) (2分) h<0.2

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二. (分) (1) (6分)

'xxn1xn11cosxn4，n=0,1,2,…

11sinx144 ∴ 对任意的初值x0[0,1],迭代公式都收敛。

(2) (12分) 用Newton插值方法：差分表：

100 10 11 0.0476190 121 12 0.0434783 144 11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)

-0.0000941136 =10.7227555

3f'''xx28

5Rf'''1151001151211151443!5131002156290.0016368

(3) (10分)设xc11xc22xc1c2x

1,1,211,2c1f,1111,xdx2,2c2f,2，1,10dx1，1202，

12,20x2dx1f,10exp(x)dxe1，f,20xexp(x)dx1 3，

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112c1e112131c2，

c10.87311.690c,x0.87311.690x 2

x4e10186ex=0.873127+1.69031x

(4) (10分)

11S1f04ff10.9461458862

S21113f04f2f4ff10.9460869312424

1S2S10.39310-59315 IS20.946086

IS2sinxx2x4x6x8fx1x3!5!7!9!或利用余项： f(4)1x2x41xf(4)x572!94!5

f(4)R5ba2880n4150.51028805n4，n2，IS2

(5) (10分)

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0000 0.0000 1.9375 9.6875

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x2.0000,3.0000,5.0000T

36x181.3333x614x20TT2.0000AAxAb2，  (6) (8分) ，若用Householder变换，则：

1.732053.4104.61880A,b00.366031.5207301.366032.52073 1.732053.4104.6188001.414212.82843000.81650

最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T. (7) (8分)

k1fx0,y00.5，k2fx1,y0hk11.120.20.50.5238095

y1y0hk1k220.10.50.52380952.10714292

三. (12分) (1) 差分表：

1 15 20 1 15 20 1 15 42 2 57 72 2 57 px1520x115x17x1x1x223315 7 22 8 30 1 54x3x22x3x4精品文档

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23其他方法：设px1520x115x1x1axb

令p257，p'272，求出a和b

(2) 取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：

A0A111111A0A1A0A13，6 2，23

f(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x3时，公式左=1/5, 公式右=5/24 ∴ 公式的代数精度=2

0.9950u110vu1Av011(1)u,v10.000.09950u 1102, 1(3) ①, 0.9941u210.05vu2Av121.095(2)u,v10.1080.1083u， 2221②, 1,

(1)(2)110.110.05

u30.994010.05vu3Av231.102(3)u,v10.1100.1090u， 31322, ③,

(2)(3)110.0020.05

0.9940x10.1090 ∴110.11，

(4) 局部截断误差=yti1yi1

h2yxihy'xiy''xiOh32yxi0hy'xi1hy'xi1h2y''xiOh31101hy'xi1h22y''xOh3i

13102， 令1010，21得02，1精品文档

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计算公式为

yi1yih3fifi12，i=0,1,2,…

53hy'''xiOh4( 局部截断误差=12 )

(5) 记h(ba)N,xiaih,pipxi,qiqxi,rirxi,

yiyxi,i=0..N

11yi1yi1qiyiriy2yypi1ii1i22hh, i=1..N-1 hh221piyi12hqiyi1piyi1hri2即2, i=1..N-1 (1)

3y04y1y20,与(1)取i=1的方程联立消去y得 2

22p1y02h2q12hp1y1h2r1 (2)

yN0，与(1)取i=N-1的方程联立消去y得 N

h221pN2yN22hqN1yN1hrN12 (3)

所求三对角方程组：方程(2)，方程组(1)(i=1..N-2)，方程(3)

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