开江中学高二年级上学期期末数学复习试题

………开江中学高二年级上学期期末数学复习试题

…第Ⅰ卷(选择题共60分)

…一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一 _ …_…项是符合题目要求的.)

…1．已知命题p：xR,cosx1， 则p是（ ） ____……A. p:xR,cosx1 B. p:xR,cosx1 开始 ___…C. p:xR,cosx1 D. p:xR,cosx1

__…（A＝1, S＝1 __… 装2．关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y（万元） ：… 有如下统计资料，若由资料知y对x呈线性相关关系，

号装考…订且线性回归方程为…yˆbx15，则b的值为（ ）

A≤H？ N … …线x 2 3 4 5 6 Y … y 输出S … 2 4 6 6 7 S＝2S+1 …内… A.

6 B.1 C. 29 D. 3

A＝A+ 1 结束 … 520 …不3．已知两点M(1,0),N3,0到直线l的距离分别为1和3,

… … 则满足条件的直线l的条数是（ ）

（第5题 图）

_ _…准A.5 B. 6 C. 2 D. 3 _ _…… 4．设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲_ __…答线的离心率为( ) _ _… _… A.

2 B.51 C.31 D. 3 __…题_ ：… 5．如图所示的程序框图运行后，输出的结果是 22

63，则判断框中的整数H的值是（ ）

名订… A. 2 B. 4 C. 5 D. 10

姓… 2 … 6．在平面直角坐标系 xOy中，双曲线C:xy21的右焦点为F，一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l…答124… 与双曲线C交于A,B两点.若FAB的面积为83，则直线的斜率为（ ）

… …题… A.

3 B.

1 … 22 C. 1 D. 5

…7．用分层抽样方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知… 一 该校高二年级共有300人，则该学校这三个年级共有多少人？ （ ） … A. 900 B.800 C. 700 D. 600 …律_ … 8．右图是2008年“隆力奇”杯第13届CCTV青年歌手电视大奖赛上

7 8 _ _… 某一位选手的部分得分的茎叶统计图，则该选手的所有得分数据的中位数与众数之和为

8 4 4 4 6 7

__…不（ ）

9 2 4 7

_… _ _… A. 174 B.176 C. 172 D. 170

_ _…给9．“a+b6”是“a2或b4”成立的什么条件？ （ ）

第8题图 _线 _ A. 必要不充分 B. 充要 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要

_… 10．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的级：…分…）样本，按系统抽样的办法分成50个部分。如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从中随机抽取一个号班… 码为0010，则第41个号码为（ ）

…A. 0810 B.0811 C. 0812 D. 0813 …22……11．设O为坐标原点，F1,F2是双曲线

xa2yb21（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足

……∠F1PF2=60°，∣OP∣=7a,则该双曲线的渐近线方程为( )

… 1

A. x±3y=0 B. 3x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0

12．设椭圆

x2y21a2b21(ab0)的离心率为e2，右焦点为F(c，0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)（ ）

Ａ．必在圆x2y22内 Ｂ．必在圆x2y22上

Ｃ．必在圆x2y22外

Ｄ．以上三种情形都有可能 第Ⅰ卷答题卡

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案写在题中的横线上.)

13．与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方 程是___________________________.

14．已知抛物线y24x上的点P到抛物线的准线距离为d1，到直线3x4y90的距离为 d2，则d1+d2的最小值是 .

15已知A、B、C是椭圆x22y1上的三点，点F（3，0）,若FAFBFC0，则

2516FAFBFC .

16．在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2

=1上相异三点，若存在正实数，，使得OCOAOB，则232的取值范围是 ．

三.解答题(本大题共6小题,17-21每题12分, 22题14分, 共74分.解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤.)

17．（12分）从某校参加2012年全国高中数赛预赛的450名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据． （1）根据表中已知数据，你认为在①、②、③处的数值分别为 ， ， ． （2）补全在区间 [70，140] 上的频率分布直方图；

（3）若成绩不低于100分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？ 频率分组 频数 频率

组距 0.040[70，80） 0.08 [80，90） ③ 0.036[90，100） 0.36 0.032[100，110） 16 0.32

0.028[110，120） 0.08

0.024[120，130） 2 ② 0.020[130，140] 0.02 0.016合计 ①

0.012

0.008

0.004 分数

708090100110120130140

18．（12分）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b．

（1）求直线ax＋by＋5=0与圆x2＋y2

=1相切的概率；

（2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．

219．（12分）已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线Cx22：

a2yb21的一个焦点F1且垂直于

C的两个焦点所在的轴，若抛物线CC22621与双曲线2的一个交点是M(3,3)．

（1）求抛物线C1的方程及其焦点F的坐标；

（2）求双曲线C2的方程及其离心率e．

20．（12分）如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L⊥直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。试建立适当的直角坐标系，解决下列问题： （1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；

（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。

M

PL AOB

N

2

21.．（12分）命题p：(t1)2ab ，其中a,b满足条件：五个数18,20,22,a,b的平均数是20，标准差是2； 命题q：m≤t≤n ，其中m,n满足条件：点M在椭圆

x24y21上，定点

A(1,0)，m、n分别为线段AM长的最小值和最大值。若命题“p或q”为真且命题“p且q”为假，求实数t的取值范围。

22．（14分）已知曲线Cxy1：ab1(ab0)所围成的封闭图形的面积为45，曲线C1的

内切圆半径为253．记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

（1）求椭圆C2的标准方程；

（2）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．

（i）若MOOA（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程； （ii）若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．

………………………………（…… 装 装 …订… … …线… … …内… … …不… … …准… … …答… … …题… 订 … … … …答… … …题… … …… 一 … …律… … …不… … …给线 … …分…）… ……………… …

开江中学高二年级上学期期末数学复习试题

参 2013.1

1. C 2. A 3. D 4. B 5. C 6. B 7. A 8.D 9.C 10.A 11.D 12.A

13.（x2)2+（y-2）2=2 14.

12515.

48 16. 2，

17．解：（1）50；0.04；0.10．

5 （2）如图． （3）在随机抽取的50名同学中有7名出

线,．4502350207

答：在参加的450名中大概有207名同学出线． 18. 解：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点

数分别记为a,b,

事件总数为6×6=36．∵直线ax＋by＋c=0与圆x2

＋y2

=1相切的充要条件是

51即：

a2＋b2

=25，由于a,b∈｛1，2，3，4，

a2b25，6｝

∴满足条件的情况只有a=3,b=4,c=5；或a=4,b=3,c=5两种情况．

∴直线ax＋by＋c=0与圆x2＋y2=1相切的概率是

213618

（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．

∵三角形的一边长为5 ∴当a=1时，b=5，（1，5，5） 1种 当a=2时，b=5，（2，5，5） 1种 当a=3时，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种 当a=4时，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种 当a=5时，b=1，2，3，4，5，6， （5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），

（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种

当a=6时，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种 故满足条件的不同情况共有14种 答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为147．

361819. 解：（1）由题意可设抛物线C222621的方程为y2px． 把M(3,3)代入方程y2px，得p2 因此，

抛物线C21的方程为y4x 于是焦点F(1,0) （2）抛物线C1的准线方程为y1，所以，F1(1,0) 而双曲线C2的另一个焦点为F(1,0)，于是 2aMF71MF35323 因此，a13 又因

为c1，所以b2c2a2829．于是，双曲线Cx22的方程 为

1y81 因此，双曲线C2的离心率

99e3．

20. 解：建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为x2y24， 直线L的方程为x4。（1）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为(1,3)， ∴lAP:y33(x2)，lBP:y3(x2)。将x=4代入，

得M(4,23),N(4,23)。∴MN的中点坐标为（4，0），MN=43。∴以MN为直径的圆的方程为

(x4)2y212。同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是(x4)2y212。（2）设点P的坐标为

3

(x220,y0)，

∴

x0y04（

y200），∴

y04x20。

∵ly0(x2),ly06y02y0PA:yxPB:y02xyM，02(x2)，将x=4代入，得xyN。

02x02∴M(4,6y04x),N(4,2y002x)，MN=

6y02y002x02x4x0点坐标为

02y。MN的中0(4,4(x01)y)。

0以MN为直径的圆O/截x轴的线段长度为 2224(x04)16(x01)4y2432430y20y123x200y4x0043为定值。

0yy0∴⊙O/必过⊙O 内定点(423,0)。

yMPAOBxN

21.解：根据题设可求得ab2，命题p等价于： (t1)22t21或t12；

命题q等价于：

2AM2(x1)2y2x22x11x43x242x2(2x2)

223AM963t3，①p真q假

t21或t1212t12t3或t12p假q真6t12综上

t3或t63633t3所述满足条件的m范围为t＞3或

63t12或t12 。

2ab22. 解析：（1）由题意得45，ab25 又ab0，解得22．a5，b4．因此所求椭

a2b2322圆的标准方程为

x5y41．

（2）（i）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为ykx(k0)，

A(xA，yA)．

2x2y22020k1，22解方程组5得xA，yA， 42245k45kykx，当且仅当45k254k2时等号成立，即k1时等号成立， 此时△AMB面积的最小值是S△AMB当k0，S△AMB12409．

40922所以OAxAyA22045k220k2245k20(1k)45k22．

22522512．

409设M(x，y)，由题意知MOOA(0)，所以MOOA，即xy12222220(1k)45kx22，因为l是当k不存在时，S△AMB542540．

综上所述，△AMB的面积的最小值为．

AB的垂直平分线，所以直线l的方程为ykx，即

ky，因此

2201x

x2y22y222220(xy)22222x2y2245x24y25x2，又xy0，所以5x4y20，故45．又y2当k0或不存在时，上式仍然成立．综上所述，M的轨迹方程为x2y2452(0)．

（ii）当k存在且k0时，由（1）得x2202A45k2，y20k2A45k2，

x2y21，由54解得x220k2M542，y2M2054k2，所以 y1kx，k2OA2x2y220(1k)22k2)AA45k2AB4OA280(1k)45k2，OM220(154k2． 22220(1k2)400(1k2)2由于S△AMB124ABOM1480(1k)45k254k2(45k2)(54k2)

22222≥400(1k)2221600(1k)22405k54k时等号成立，即k145k54k81(1k)9，当且仅当422时等2号成立，此时△AMB面积的最小值是S40△AMB9．

当k0，S140△．当k不存在时，S1AMB2252259△AMB25425409．综上所述，

△AMB的面积的最小值为409．

解法二： 因为

11145k254k2OA2OM220(1k2)120(1k2)20(1k2)920，

45k254k2又

11240OA2OM2≥OAAOMOM，O≥9，

4

9