数值分析历届考题

03-04学年秋季学期

一．

简答题（每小题5分）

1. 数值计算中要注意哪些问题。

答：第一、两个相近的数应避免相减。

第二、绝对值很小的数应避免作除数。 第三、注意选取适当的算法减少运算次数。

第四、两个绝对值相差很大的数运算时，注意“机器零”的问题。 第五、注意算法的收敛性和稳定性。

2. 用迭代法求解非线性方程f(x)0时，迭代收敛的条件是什么，可以用什么方法来确

定初值x0。

答：对于非线性方程f(x)0（其迭代格式为xg(x)），如果满足： （1） 当x[a,b]时，g(x)[a,b]；

（2） g(x)在[a,b]上连续，且对任意的x[a,b]都有g(x)L1。 则有结论：对任意给定的x0[a,b]，由迭代格式xk1g(xk)，k=0,1,2,…产生的序列xk收敛于x*，即迭代收敛。 可以用二分法来确定初值x0。

3. 用消元法求解线性方程组时，为什么要选主元。

答： 因为用简单高斯消元法求得的近似解与精确解相差甚远，其主要原因是绝对值很小的数作除数，导致了误差的快速增长。为了避免这种情况的发生，我们可以通过行交换，在需要消元的列中，取绝对值最大者作为主对角线元素（即主元），计算效果将得到改善。

4. 矩阵的条件数是什么，它对求解线性方程组有什么影响。

答：对于n阶可逆方阵A，正实数||A||||A1||称为A的条件数，记为cond(A)。

条件数对于线性方程组Ax=b的影响如下：

bxcond(A)，其中b为A精确时b产生的误差；

xbxA，其中A为b精确时A产生的误差。 cond(A)xA5. 把下列二阶常微分方程的初值问题

x1yyyx1 x1x1y(0)1,y(0)2化为一阶常微分方程组，并写出求解该方程的改进Euler方法。

u1(x)y(x)u(x)y(x)答：令2(x)u2u1u1(0)1xu2(x)u1(x)u(x)x1u2(0)2。 2则，其中x1所以用改进的Euler方法表示为：

i)u(2(i)(i)hxu2u1(x1)ix1，

i

ypy(i)u1(x)yp(x)，u2(x)yp(x)，

(i)u2(i)hxu2u1(i)(x1)i1x，

i11ycy(i)y(i1)二．

1(ypyc)。 2（20分）给出数据表

x f(x) f’(x) 0 2 1 1 -1 2 2 求一个满足插值条件的三次插值多项式，并写出余项公式。

解：先求出满足函数值插值条件P2(x)f(xi)，i=0，1，2的二次插值多项式P2(x)。

i 1 2 3

由牛顿插值公式：

x 0 1 2 f(x) 2 1 2 一阶差商 -1 1 二阶差商 1 P2(x)f(x0)(xx0)f[x0,x1](xx0)(xx1)f[x0,x1,x2]

2xx(x1)x22x2

令H3(x)P2(x)A(xx0)(xx1)(xx2)，其中A是待定常数，则

(x1)1，由已知条件f代入可得： H3(x1)2x12A(x1x0)(x1x2)，

A11；

(10)(12)

232所以H3(x)x2x2x(x1)(x2)x2x2。

其插值余项为R(x)f(4)()4!2)。 x(x1)2(x2)，其中(0,三． （20分）给出数据表 x y 0.1 1 0.2 0.8024 0.4 0.6174 0.5 0.53023 用最小二乘法求拟合曲线

1yab（保留3位小数）。 x

解：对于曲线

1ya1b1，令z，t，得zabt。 xyx把x，y的数据转换为t，z的数据（取3位有效数字）： t=1/x z=1/y 2.00 1. 2.50 1.62 5.00 1.25 10.0 1.00

对于zabt，其法方程组为：

444abtizii1i1； 444atibti2tizii1i1i1其中：

tii1419.50，

tii142135.25，

zii145.76，

tizii1424.08 。

数据代入后得法方程组为4a19.5b5.7619.5a135.25b24.080.0995。

；解得a1.93b0.0995所以拟合曲线为

1y1.93x四．

（15分）确定下列求积公式的系数k1，k2，k3，使公式成为Guass型求积公式

11f(x)dxk1f(0.6)k2f(0)k3f(0.6)。

解：通过待定系数法：

当f(x)1时，有2k1k2k3 （1） 当f(x)x时，有00.6k1当f(x)x时，有

20.6k3 （2）

20.6k10.6k3 （3） 3由此得到一个关于未知数k1，k2，k3的线性方程组：

k10.55555556k1k2k320.6k10.6k30；解得k20.888888。

k0.55555556230.6k0.6k133五．

（20分）证明：对任意参数t（t1）下列求解常微分方程初值问题的算法，其

局部截断误差都是c：

yi1yithf(xi,yi)(t1)hf(xih2(1t),yih2(1t)fi)。

K1f(xi,yi)证：令hK1， hKf(x,y)2ii2(1t)2(1t)

t1)hK2（1） 则yi1yithK1(对K2作泰勒展开得：

。

K2f(xi,yi)f(xi,yi)hK1f(xi,yi)O(h2)2(1t)x2(1t)yh代入到（1）式中：

yi1由于

f(xi,yi)h2K1f(xi,yi)yithK1(1t)hK1O(h3)2x2yh2f(xi,y(xi))h2f(xi,y(xi))y(xi1)y(xi)hf(xi,y(xi))[f(xi,y(xi))]O(h3)2xy

333在y(xi)yi的条件下y(xi1)yi1O(h)O(h)O(h)。

即对任意参数t，上述求解微分方程初值问题的算法其局部截断误差都是O(h)。

（16分）证明：下列求解常微分方程初值问题的数值方法，其局部截断误差为

3六．

O(h3)。

yi1171(yiyi1)h[f(xi,yi)f(xi1,yi1)] 244证：f(xi1,yi1)f(xih,yihf(xi,yi))

f(xi,yi)[f(xi,yi)f(xi,yi)hhf(xi,yi)]O(h2)

xyyi1

h2f(xi,yi)f(xi,yi)y(xi1)y(xih)y(xi)hf(xi,yi)[f(xi,yi)]O(h3)2!xy在y(xi)yi的条件下将上述两式代入

yi1171(yiyi1)h[f(xi,yi)f(xi1,yi1)]244中，可得：

yi1h2f(xi,yi)f(xi,yi)yif(xi,yi)[f(xi,yi)O(h3)]

24xyh3hf(xi,yi)f(xi,yi)h{f(xi,yi)[f(xi,yi)O(h2)]}

24xyyihf(xi,yi)由于

hf(xi,yi)f(xi,yi)[f(xi,yi)]O(h3) 2xyf(xi,y(xi))h2f(xi,y(xi))y(xi1)y(xi)hf(xi,y(xi))[f(xi,y(xi))]O(h3)2xy333在y(xi)yi的条件下y(xi1)yi1O(h)O(h)O(h)。

所以上述求解微分方程初值问题的算法其局部截断误差都是O(h)。

305-06学年秋季学期

一．

简答题（每小题4分，共20分）

1. 设x=0.06020，y=0.0418是按四舍五入得到的近似值，则x+y，xy的绝对误差限，相对

误差限，有效数字各是多少。 答：(x)11111014105，(y)1013104； 2222111031003， 22(xy)(x)(y)所以x+y三位有效，r(xy)(xy)0.0007766；

xy(xy)x(y)y(x)所以x/y三位有效，r(xy)2. 同03-04学年秋季学期第一题3

111051023， 22(xy)0.001279 xy3. 在解线性方程组时，原始数据的误差对解的影响如何；对病态方程组可以采用什么方法

处理。

答：原始数据的误差对于线性方程组Ax=b的影响如下：

bxcond(A)，其中b为A精确时b产生的误差；

xb

xA，其中A为b精确时A产生的误差； cond(A)xA

其中cond(A)=||A||||A1||为条件数。

对于病态方程组，可以使用迭代改善的方法处理。

4. 给出三个等距节点x1，x2，x3，及其相应的函数值，试导出二阶数值导数f(x1)的计

算公式。

答：以这三个点为节点的基本插值多项式为： l0(x)(xx1)(xx2)(xx0)(xx2)，l1(x)，

(x0x1)(x0x2)(x1x0)(x1x2)(xx0)(xx1)；

(x2x0)(x2x1)22(x)，l1

(x0x1)(x0x2)(x1x0)(x1x2)l2(x)(x)求二阶导得：l0l2(x)2；

(x2x0)(x2x1)设xix0ih，i=0，1，2。

(x1)L2(x1)则f1h2[f(x0)2f(x1)f(x2)]。

5. 用数值方法求解常微分方程时，怎样选择合适的步长。

答：先选取一个步长h，计算y()2i1和

h(h)yi1，如果，则将步长逐次减半，直到为止。如果对于初始步长h，就有最大步长。

，则尝试将步长逐次加倍，知道满足的

二． （16分）给出数据表

x f(x) f’(x) 1 2 2 4 3 3 12 f(4)()(x1)(x2)2(x3)求一个3次插值多项式；并证明其余项公式为R(x)4!

解：先求出满足函数值插值条件P2(x)f(xi)，i=0，1，2的二次插值多项式P2(x)。

i 1 2 3

由牛顿插值公式：

x 1 2 3 f(x) 2 4 12 一阶差商 2 8 二阶差商 3 P2(x)f(x0)(xx0)f[x0,x1](xx0)(xx1)f[x0,x1,x2]

22(x1)3(x1)(x2)3x27x6

令H3(x)P2(x)A(xx0)(xx1)(xx2)，其中A是待定常数，则

H3(x1)6x17A(x1x0)(x1x2)，由已知条件f(x1)3，代入可得：

A352；

(21)(23)

232所以H3(x)3x7x62(x1)(x2)(x3)2x9x15x6。

由插值条件可知，x1是R(x)的二重零点，x0和x2是R(x)的单重零点，所以

R(x)K(x)(xx0)(xx1)2(xx2)，其中K(x)是待定函数。

2令g(t)f(t)H3(t)K(x)(xx0)(xx1)(xx2)，

f(4)()当f(x)的4阶导数连续时，反复用罗尔定理，可得K(x)，

4!

f(4)()(x1)(x2)2(x3)。 所以R(x)4!（16分）给出一组数据 X Y 1.00 8.46 b1x三．

1.25 7.45 。

1.50 6.53 1.75 5.79 2.00 5.10 用最小二乘法求拟合曲线yaebx解：对于曲线yae，两边取对数得：lnylnabx

1令zlny，t，mlna，则可得到：zmbt

x把x，y的数据转换为t，z的数据（取3位有效数字）： t=1/x z=lny 0.500 1.63 0.571 1.76 0.667 1.88 0.800 2.01 1.00 2.14

对于zmbt，其法方程组为：

555mbtizii1i1； 555mtibti2tizii1i1i1

其中：

ti15i3.54，t2.66，zi9.42，tizi6.82

2ii1555i1i1数据代入后得法方程组为5m3.54b9.42m1.19；解得。

3.54m2.66b6.82b0.980aeme1.193.29。

所以拟合曲线为y3.29e四．

0.98x。

（16分）用龙贝格方法求下列积分，要求5位有效数字。

2

1edx。

21[f(1)f(2)]2.1835； 2121T2T1f(1.5)2.0656；

221x解：T1

S14T2T12.0263；

41

121T4T2[f(1.25)f(1.75)]2.0319；

24

S24T4T22.0207；

41 五．

42S2S1C12.0203。

421（16分）对于非线性方程f(x)=0，求证：改进的牛顿迭代格式：

xk1f(xk)f(xk)f2(xk)，k=0，1，… xkf(xk)2[f(xk)]3在单根附近是至少三阶收敛的。并判别该方法对重根是几阶收敛。 解：（1）在单根的情况下，设x*是f(x)0的单重根。

g(x)xf(x)f(x)f(x)2()，

f(x)2f(x)f(x)[f(x)]2f(x)f(x)f(x)f(x)2dg(x)12f(x)f(x)[f(x)]()233dx2[f(x)][f(x)]2[f(x)]

[f(x)]2df(x)() dx2[f(x)]3**

(x)g(x)0，即该迭代格式是三阶收敛的。 所以x*是g(x)的二重零点，g（2）在重根的情况下，设x*是f(x)0的m重根。（m>1） 则f(x)(xx)h(x)，且h(x)0，

*m*f(x)(xx*)m1[mh(x)(xx*)h(x)]，

f(x)(m1)(xx*)m2[mh(x)(xx*)h(x)](xx*)m1d[mh(x)(xx*)h(x)]dx(m1)(xx*)m2[mh(x)(xx*)h(x)](xx*)m1[(m1)h(x)(xx*)h(x)](xx*)m2[m(m1)h(x)2m(xx*)h(x)(xx*)2h(x)]，

同理：

f(x)(xx*)m3[m(m1)(m2)h(x)3m(m1)(xx*)h(x)3m(xx*)2h(x)(xx*)3h(x)[f(x)]2f(x)f(x)3[f(x)]2(x)这时：g 42[f(x)]

(xx*)2mh2(xx*)2m4mhm(m1)(m2)h3(xx*)2m4m2(m1)2h22(xx*)4m4m4h4h2[m2(m1)(m2)h23m2(m1)2h2](m1)(m2)3(m1)2(m1)(2m1)m4h4m2m2由于m为大于1的整数，所以显然g(x)0，所以在重根情况下题设迭代法线性收敛。（一阶收敛）

06-07学年冬季学期

一、

简答题(每小题4分，共20分)

1. 设x=-0.0307，y=1.230是按四舍五入得到的近似值，则x-y，x/y的绝对误差限，相对误

差限，有效数字各是多少。 答：(x)11111013104，(y)1014103； 2222111021013， 22

(xy)(x)(y)所以x-y三位有效，r(x

y)(xy)0.003966；

xy

x(y)y(x)1x1413， ()10102y22yx()xy所以x/y三位有效，r()0.002003

yxy

2. 插值型数值积分方法的基本原理是什么，其截断误差是什么。

dx答：基本原理：f(x)abaPn(x)dx，其中Pn(x)是f(x)的n次插值多项式。

b截断误差：

Rff(n1)()b(x)dx,n是奇数bb(n1)!an1 f(x)dxPn(x)dx(n2)aab()fxn1(x)dx，n是偶数a(n2)!3. 写出求解非线性方程组fi(x1,x2,,xn)0，i=1,2,…,n一般迭代法的迭代格式和

收敛条件。

答：一般迭代法的格式：xi

(k1)(k)k)(k)gi(x1,x(,,x2n)，i=1,2,…,n，

其中：xigi(x1,x2,,xn)是fi(x1,x2,,xn)0的等价方程。

g1(x)g1(x)x2x1g2(x)g2(x)当Gxx21gn(x)gn(x)x2x14. 同03-04秋季学期第一题4

g1(x)xng2(x)xn，G1时收敛。 gn(x)xn5. 把下列二阶常微分方程的初值问题化为一阶常微分方程组的初值问题，并写出数值求解

的欧拉格式。

(x1)yxyy(x1)2y(0)0y(0)1

u1(x)y(x)u(x)y(x)答：令2(x)u2u1u1(0)0xu2(x)u1(x)u(x)x1u(0)1。 2则，其中2x1所以用欧拉形式表示为：

y(i1)y(i)i)u(2(i)(i)hxu2u1 x1(xi1)，i=0,1,2,…,n-1。

i二、 （16分）给出数据表

x f(x) f’(x) 0 1 1 2 3 2 9 用3次插值多项式求f(1.5)的近似值，并估计误差：

解：先求出满足函数值插值条件P2(x)f(xi)，i=0，1，2的二次插值多项式P2(x)。

i 1 2 3

由牛顿插值公式：

x 0 1 2 f(x) 1 2 9 一阶差商 1 7 二阶差商 3 P2(x)f(x0)(xx0)f[x0,x1](xx0)(xx1)f[x0,x1,x2]

1x3x(x1)3x22x1

令H3(x)P2(x)A(xx0)(xx1)(xx2)，其中A是待定常数，则

H3(x1)6x12A(x1x0)(x1x2)，由已知条件f(x1)3，代入可得：

A341；

(10)(12)23所以H3(x)3x2x1x(x1)(x2)x1。

f(1.5)1.5314.375

f(4)()|R(1.5)||(1.50)(1.51)2(1.52)|0.0078125f(4)()(0,2)4!

三、

（16分）给出一组数据 x y

1.00 5.10 1.25 5.79 bx1.50 6.53 1.75 7.45 2.00 8.46 用最小二乘法求拟合曲线yae。

解：对于曲线yae，两边取对数得：lnylnabx

bx

令zlny，mlna，则可得到：zmbx 把x，y的数据转换为t，z的数据（取3位有效数字）：

x z=lny 1.00 1.63 1.25 1.76 1.50 1.88 1.75 2.01 2.00 2.14

对于zmbx，其法方程组为：

555mbxizii1i1； 5552mxibxixizii1i1i1

其中：

xi15i7.5，x11.9，zi9.42，tizi14.4

2ii1i1i1555数据代入后得法方程组为5m7.5b9.42m1.26；解得。

7.5m11.9b14.4b0.415aeme1.263.53。

所以拟合曲线为y3.53e四、

0.415x。

（16分）用任意一种方法求下列积分，要求5位有效数字。

1dx 24x64[f(4)f(6)]0.075； 2164T2T1f(5)0.071983；

22解：用龙贝格方法求解题目中的积分：

T1

S14T2T10.070978；

41

164T4T2[f(4.5)f(5.5)]0.071209；

24

S24T4T20.070950；

41

42S2S1C10.070949。 241五、 六、

（16分）同05-06学年秋第五题

（16分）求参数a，b，c使下列求解常微分方程初值问题的数值方法的局部截断

3误差达到O(h)。

hyi1yi[f(xi,yi)af(xibh,yichf(xi,yi))]

8解：令

K1f(xi,yi)

K2f(xibh,yichK1)h(K1aK2) 8（1）

则yi1yi对K2作泰勒展开得：

K2f(xi,yi)bhf(xi,yi)f(xi,yi)chK1O(h2)

xy代入到（1）式中可以得到：

yi1f(xi,yi)1ah2abf(xi,yi)acyihf(xi,yi)[f(xi,yi)]O(h3)

824x4y由于

f(xi,y(xi))h2f(xi,y(xi))y(xi1)y(xi)hf(xi,y(xi))[f(xi,y(xi))]O(h3)2xy333在y(xi)yi的条件下若要使y(xi1)yi1O(h)O(h)O(h)，必须满足：

1a18a74abb，解得。 174acc4174