人教A版数学必修1：2-1-2-1指数函数及其性质

一、选择题

1．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是( )

1

A．y＝2x C．y＝2x＋1 [答案] D

B．y＝2x－1 1－

D．y＝()2x

2

111

[解析] 在A中，∵≠0，∴2x≠1，所以函数y＝2x的值域是{y|y>0，且y≠1}．

x

在B中，∵2x－1≥0，∴2x－1≥0，所以函数y＝2x－1的值域是[0，＋∞)． 在C中，∵2x＋1>1，∴2x＋1>1，所以函数y＝2x＋1的值域是(1，＋∞)． 1－

在D中，由于函数y＝()2x的定义域是R，也就是自变量x可以取一切实数，所以2

21－1－

－x也就可以取一切实数，所以()2x取一切正实数，即函数y＝()2x的值域为(0，＋∞)，

22故选D.

2．某种细菌在培养过程中，每20分钟一次(一个为两个)．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成( )

A．511个 C．1 023个 [答案] B

[解析] ∵每20分钟一次，故3个小时共了9次，∴29＝512，故选B. 3．如果函数y＝(ax－1)2的定义域为(0，＋∞)那么a的取值范围是( ) A．a>0 C．a>1 [答案] C

[解析] y＝(a－1)2＝

x

－

－

B．512个

D．1 024个

1

B．01

1

，因此ax－1>0 x

a－1

∴ax>1，又∵x>0，∴a>1，故选C. 4．函数y＝a|x|(0[答案] C

ax (x≥0)

[解析] y＝1，∵0ax (x<0)且y≤1，故选C.

[点评] 可取a＝1

2

画图判断．

A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a

D．c>b>a

[答案] B

即a>c，∴b>a>c.

[点评] 指数函数的图象第一象限内底大图高，

6．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于( A.12

B．2 C．4

D.14

[答案] B

[解析] 当a>1时，ymin＝a0＝1；ymax＝a1＝a， 由1＋a＝3，所以a＝2.

当0) 由1＋a＝3，所以a＝2矛盾，综上所述，有a＝2.

7．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与指数函数g(x)＝ax的图象可能是( )

[答案] B

[解析] 由指数函数的定义知a>0，故f(x)＝ax的图象经过一、三象限，∴A、D不正确． 若g(x)＝ax为增函数，则a>1，

与y＝ax的斜率小于1矛盾，故C不正确． B中01＋

8．函数y＝()x22x的值域是( )

2A．(0，＋∞) 1

C．(，2]

2[答案] B

[解析] ∵u＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1， 1

y＝()u在[－1，＋∞)上是减函数，

21－1

∴y≤2＝2.∴y∈(0,2]． 二、填空题

1

9．指数函数y＝f(x)的图象过点(－1，)，则f[f(2)]＝________.

2[答案] 16

1

[解析] 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，∵f(x)图象过点(－1，)，∴a＝2，∴f(x)＝2x，

2∴f[f(2)]＝f(22)＝f(4)＝24＝16.

10．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域为__________． 5

[答案] {y|－≤y≤1}

3

B．(0,2] D．(－∞，2]

155

[解析] 当－1≤x≤1时，≤3x≤3，∴y∈[－，1]，值域为{y|－≤y≤1}．

33311．已知x>0时，函数y＝(a2－8)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是________． [答案] a>3或a<－3

[解析] 当x>0时(a2－8)x>1，∴a2－8>1， ∴a>3或a<－3. 12．(09·江苏文)已知a＝的大小关系为________．

[答案] m5－1

，∴05－1

，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n2

∴函数f(x)＝ax在R上单调递减， ∵f(m)>f(n)，∴m11－－

13．已知f(x)＝(ax－ax)，g(x)＝(ax＋ax)，

22求证：[f(x)]2＋[g(x)]2＝g(2x)． [解析] f 2(x)＋g2(x) 11－－

＝(ax－ax)2＋(ax＋ax)2 44

11－－

＝(2a2x＋2a2x)＝(a2x＋a2x)＝g(2x)成立． 42

14．分别把下列各题中的三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来．

7

15．已知f(x)＝x＋1，g(x)＝2x，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．试问在哪个

3

区间上，f(x)的值小于g(x)？哪个区间上，f(x)的值大于g(x)?

7x

[解析] 在同一坐标系中，画出函数f(x)＝2x与g(x)＝＋1的图象如图所示，两函数图

3象的交点为(0,1)和(3,8)，

显然当x∈(－∞，0)或x∈(3，＋∞)时，f(x)>g(x)，当x∈(0,3)时，f(x)16．判断函数f(x)＝x＋的奇偶性．

2－12

[解析] ∵2x－1≠0，∴x≠0，定义域{x∈R|x≠0} xxx(2x＋1)

∵f(x)＝x＋＝x，

2－122(2－1)－x(2x＋1)－x(1＋2x)

∴f(－x)＝＝ －

2(2x－1)2(1－2x)x(2x＋1)

＝x＝f(x)， 2(2－1)∴f(x)为偶函数．

17．求下列函数的定义域和值域

－

[解析] (1)函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) (2)要使函数有意义，必须且只须3x－2≥0， 22

即x≥，∴函数的定义域为[，＋∞)

33设t＝3x－2，则t≥0，y＝5t ∴y≥1 ∴函数的值域为[1，＋∞)．

(3)要使函数有意义，必须且只须x＋1≠0， 即x≠－1.

∴函数的定义域为{x∈R|，x≠－1} x＋21设t＝，则t∈R且t≠1，y＝()t，

3x＋11

∴y>0且y≠

3

11

∴函数的值域为(0，)∪(，＋∞)

33