库仑定律 导学案
[学习目标定位] 1.知道点电荷的概念.
2.理解库仑定律的内容、公式及其适用条件，会用库仑定律进行有关的计算．
一、探究影响电荷间相互作用力的因素
1．实验表明，电荷间的作用力随着电荷量的增大而增大，随着距离的增大而减小． 2．卡文迪许和普里斯特利等人都确信“平方反比”规律适用于电荷间的力． 二、库仑定律
1．库仑力：电荷间的相互作用力叫做静电力或库仑力．
2．点电荷：当带电体的距离比自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，就可以看做带电的点． 3．库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，
与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上．
三、库仑的实验
1．库仑力大小的确定：通过悬丝扭转的角度可以比较库仑力的大小． q1q2
2．库仑定律的表达式：F＝k2，其中k＝×109_N·m2/C2，叫做静电力常量．
r
3．静电力叠加原理：两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个电荷的作用力的矢量和．
一、库仑定律 [问题设计]
1．O是一个带正电的物体．把系在丝线上的带正电的小球先后挂在图1中P1、P2、P3等位置，比较小球在不同位置所受带电体的作用力的大小，图中受力由大到小的三个位置的排序为P1、P2、P3.
图1
2．使小球处于同一位置，增大或减小小球所带的电荷量，小球所受作用力的大小如何变化？ 答案 增大小球所带的电荷量，小球受到的作用力增大；减小小球所带的电荷量，小球受到的作用力减小．
3．以上说明，哪些因素影响电荷间的相互作用力？这些因素对作用力的大小有什么影响？ 答案 电荷量和电荷间的距离．电荷之间的作用力随着电荷量的增大而增大，随着电荷间距离的增大而减小． [要点提炼]
q1q2
1．库仑定律的表达式：F＝k2.式中的k为静电力常量，数值为k＝×109_N·m2/C2.
r2．库仑定律的适用条件：真空中、点电荷． [延伸思考]
1．有人说：“点电荷是指带电荷量很小的带电体”，对吗？为什么？
答案 不对．点电荷是只有电荷量，没有大小、形状的带电体，是一种理想化的物理模型．当带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以至于带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的相互作用力的影响可以忽略时，带电体可以看做点电荷．一个物体能否被看做点电荷，是相对于具体问题而言的，不能单凭其大小和形状而定． q1q2
2．还有人根据F＝k2推出当r→0时，F→∞，正确吗？
r
答案 从数学角度分析似乎正确，但从物理意义上分析却是错误的．因为当r→0时，两带电体已不能看做点电荷，库仑定律不再适用了． 二、静电力的叠加 [问题设计]
已知空间中存在三个点电荷A、B、C，A对C的库仑力是否因B的存在而受到影响？A、B是否对C都有力的作用？如何求A、B对C的作用力？
答案 A对C的库仑力不受B的影响，A、B对C都有力的作用，A、B对C的作用力等于A、B单独对C的作用力的矢量和． [要点提炼]
1．如果存在两个以上点电荷，那么每个点电荷都要受到其他所有点电荷对它的作用力．两个点电荷之间的作用力不因第三个点电荷的存在而有所改变．因此，两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和．
2．任何一个带电体都可以看成是由许多点电荷组成的．所以，如果知道带电体上的电荷分布，根据库仑定律和平行四边形定则就可以求出带电体间的静电力的大小和方向．
一、对点电荷的理解
例1 下列关于点电荷的说法中，正确的是( ) A．只有电荷量很小的带电体才能看成是点电荷 B．体积很大的带电体一定不能看成是点电荷
C．当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，可将这两个带电体看成点电荷 D．一切带电体都可以看成是点电荷
解析 本题考查点电荷这一理想模型．能否把一个带电体看成点电荷，关键在于我们分析时是否考虑它的体积大小和形状．能否把一个带电体看做点电荷，不能以它的体积大小而论，应该根据具体情况而定．若它的体积和形状可不予考虑时，就可以将其看成点电荷．故选C. 答案 C
二、对库仑定律的理解
例2 两个分别带有电荷量－Q和＋3Q的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为rr
的两处，它们间库仑力的大小为F.两小球相互接触后将其固定距离变为，则两球间库仑力2的大小为( ) F
F D．12F
F
3Q2
解析 两带电金属小球接触后，它们的电荷量先中和后均分，由库仑定律得：F＝k2，F′
rQ24Q24
＝k＝k2.联立得F′＝F，C选项正确．
rr322答案 C
针对训练 有三个完全相同的金属小球A、B、C，A所带电荷量为＋7Q，B所带电荷量为－Q，C不带电．将A、B固定起来，然后让C反复与A、B接触，最后移去C，A、B间的相互作用力变为原来的( ) 倍 倍 答案 C
解析 C与A、B反复接触，最后A、B、C三者所带电荷量均分， 7Q＋－Q
即qA′＝qB′＝qC′＝＝2Q.
32Q·2Q4kQ2
A、B间的作用力F′＝k2＝2，
rr
倍 倍
7Q·Q7kQ2
原来A、B间的作用力F＝k2＝2，
rrF′44
所以＝，即F′＝F.
F77三、多个点电荷间静电力的叠加
例3 如图2所示，直角三角形ABC中∠B＝30°，且在A、B两点放置两点电荷QA、QB，测得在C处正点电荷受静电力方向与AB平行向左，则A带____________电，QA∶QB＝____________.
图2
解析 各个静电力不在同一直线上时，应用平行四边形定则求合力． 正电荷在C处受点电荷QA、QB的库仑力作用，方向一定在AC、BC线上，要使合力水平向左，C受A的作用必定为引力，受B的作用必定为斥力，所以A带负电，B带正电，受力分析如图所示，得FBsin30°＝FA① 由库仑定律得FB＝FA＝
kQBQC
x2BC
② ③
kQAQC
xBCsin30°2
联立①②③解得QA∶QB＝1∶8. 答案 负 1∶8
例4 如图3所示，两个点电荷，电荷量分别为q1＝4×109 C和q2＝－9×109 C，分别固定于相距20 cm的a、b两点，有一个点电荷q放在a、b所在直线上且静止不动，该点电荷所处的位置是( )
图3
A．在a点左侧40 cm处 B．在a点右侧8 cm处 C．在b点右侧20 cm处 D．无法确定
解析 此电荷电性不确定，根据平衡条件，它应在q1点电荷的左侧，设距q1距离为x，由q1qq2qk2＝k，将数据代入，解得x＝40 cm，故A项正确． xx＋202答案 A
－
－
1．(对点电荷的理解)对点电荷的理解，你认为正确的是( ) A．点电荷可以是带电荷量很大的带电体 B．点电荷的带电荷量可能是×10
－20
C
C．只要是均匀的球形带电体，不管球的大小，都能被看做点电荷
D．当两个带电体的形状对它们的相互作用力的影响可忽略时，这两个带电体都能看做点电荷 答案 AD
解析 能否把一个带电体看做点电荷，不是取决于带电体的大小、形状等，而是取决于研究问题的实际需要，看带电体的形状、大小和电荷分布情况对电荷之间的作用力的影响是否可以忽略．
2．(对库仑定律的理解)相隔一段距离的两个点电荷，它们之间的静电力为F，现使其中一个点电荷的电荷量变为原来的2倍，同时将它们间的距离也变为原来的2倍，则它们之间的静电力变为( ) B．4F C．2F 答案 A
q1q22q1q21q1q2F解析 F＝k2，F′＝k＝k＝，选A.
r22r22r2
3．(静电力的叠加)如图4所示，在一条直线上的三点分别放置QA＝＋3×109 C、QB＝－4×109 C、QC＝＋3×109 C的A、B、C点电荷，试求作用在点电荷A上的静电力的大小．
－
－
－
图4
答案 ×104 N
解析 点电荷A同时受到B和C的静电力作用， 因此作用在A上的力应为两静电力的合力．
可先根据库仑定律分别求出B、C对A的静电力，再求合力． A受到B、C电荷的静电力如图所示，
－
根据库仑定律有
kQBQA－
FBA＝2＝错误! N＝×103 N
rBAFCA＝
kQCQA－
＝错误! N＝9×105 N 2
rCA
规定沿这条直线由A指向C为正方向，则点电荷A受到的合力大小为 FA＝FBA－FCA＝×103－9×105) N ＝×104 N.
4．(库仑定律在力学中的应用)在光滑绝缘水平面上固定着带电小球A，质量为M，所带电荷量为＋Q.带电小球B与小球A之间相距为r，质量为m，所带电荷量为＋q.现将小球B无初速度释放，求：
(1)刚释放时小球B的加速度； (2)释放后小球B做什么运动． 解析 (1)由库仑定律及牛顿第二定律得 Qq
F＝k2＝ma，
rQqa＝k2.
mr
(2)由于小球B受斥力作用而逐渐远离小球A， r变大，则F变小，a变小，
故小球B做加速度逐渐减小的加速运动． kQq
答案 (1)2
mr
(2)加速度逐渐减小的加速运动
－
－
－
题组一 对点电荷的理解
1．关于点电荷，以下说法正确的是( ) A．足够小的电荷就是点电荷
B．一个电子不论在何种情况下均可视为点电荷 C．在实际中点电荷并不存在
D．一个带电体能否看成点电荷，不是看它尺寸的绝对值，而是看它的形状和尺寸对相互作用力的影响能否忽略不计 答案 CD
解析 点电荷是一种理想化的物理模型，一个带电体能否看成点电荷不是看其大小，而是应
具体问题具体分析，看它的形状、大小及电荷分布状况对相互作用力的影响能否忽略不计．因此大的带电体一定不能看成点电荷和小的带电体一定能看成点电荷的说法都是错误的，所以A、B错，C、D对．
2．下列关于点电荷的说法正确的是( )
A．任何带电体，都可以看成是电荷全部集中于球心的点电荷 B．球状带电体一定可以看成点电荷 C．点电荷就是元电荷
D．一个带电体能否看做点电荷应以具体情况而定 答案 D
解析 一个带电体能否看做点电荷，是相对于具体问题而言的，不能单凭其大小和形状及带电荷量的多少来判断，因此D正确，A、B错误．元电荷是电荷量，点电荷是带电体的抽象，两者的内涵不同，所以C错． 题组二 对库仑定律的理解
3．关于库仑定律，下列说法中正确的是( )
A．库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积很小的球体 q1q2
B．根据F＝k2，当两电荷的距离趋近于零时，静电力将趋向无穷大
r
C．若点电荷q1的电荷量大于q2的电荷量，则q1对q2的静电力大于q2对q1的静电力 D．库仑定律和万有引力定律的表达式相似，都是平方反比定律 答案 D
解析 点电荷是实际带电体的近似，只有带电体的大小和形状对电荷的作用力影响可忽略不计时，实际带电体才能视为点电荷，故选项A错误；当两个电荷之间的距离趋近于零时，q1q2
不能再视为点电荷，公式F＝k2不能用于计算此时的静电力，故选项B错误；q1和q2之
r间的静电力是一对相互作用力，它们的大小相等，故选项C错误；库仑定律与万有引力定律的表达式相似，研究和运用的方法也很相似，都是平方反比定律，故选项D正确． 4．要使真空中的两个点电荷间的库仑力增大到原来的4倍，下列方法可行的是( ) A．每个点电荷的电荷量都增大到原来的2倍，电荷间的距离不变 B．保持点电荷的电荷量不变，使两个电荷间的距离增大到原来的2倍
C．一个点电荷的电荷量加倍，另一个点电荷的电荷量保持不变，同时使两个点电荷间的距1
离减小为原来的
2
1
D．保持点电荷的电荷量不变，将两个点电荷间的距离减小为原来的
4答案 A
q1q2
解析 根据库仑定律F＝k2可知，当r不变时，q1、q2均变为原来的2倍，F变为原来的
r4倍，A正确．同理可求得B、C、D中F均不满足条件，故B、C、D错误．
5．两个半径为R的带电球所带电荷量分别为q1和q2，当两球心相距3R时，相互作用的静电力大小为( ) q1q2
A．F＝k
3R2
q1q2
B．F＞k
3R2D．无法确定
q1q2
C．F＜k
3R2答案 D
解析 因为两球心距离不比球的半径大很多，所以两带电球不能看做点电荷，必须考虑电荷在球上的实际分布．当q1、q2是同种电荷时，相互排斥，电荷分布于最远的两侧，电荷中心距离大于3R；当q1、q2是异种电荷时，相互吸引，电荷分布于最近的一侧，电荷中心距q1q2q1q2离小于3R，如图所示．所以静电力可能小于k，也可能大于k，D正确．
3R23R2
题组三 多个电荷的平衡问题
6．如图1所示，三个点电荷q1、q2、q3固定在一直线上，q2与q3间距离为q1与q2间距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比为( )
图1
A．(－9)∶4∶(－36) C．(－3)∶2∶(－6) 答案 A
解析 本题可运用排除法解答．分别取三个电荷为研究对象，由于三个电荷只在静电力作用下保持平衡，所以这三个电荷不可能是同种电荷，这样可立即排除B、D选项，故正确选项kq2q1kq2q31
只可能在A、C中．若选q2为研究对象，由库仑定律知：2＝，因而得：q＝q，1
r432r2即q3＝4q1.选项A恰好满足此关系，显然正确选项为A.
7．有两个带电小球，电荷量分别为＋Q和＋9Q.在真空中相距 m．如果引入第三个带电小球，正好使三个小球都处于平衡状态．求： (1)第三个小球带的是哪种电荷？ (2)应放在什么地方？
B．9∶4∶36 D．3∶2∶6
(3)电荷量是Q的多少倍？
9
答案 (1)带负电 (2)放在＋Q和＋9Q两个小球连线之间，距离＋Q m处 (3)倍
16解析 根据受力平衡分析，引入的第三个小球必须带负电，放在＋Q和＋9Q两个小球的连线之间．
设第三个小球带电量为q， 放在距离＋Q为x处， 由平衡条件和库仑定律有： 以第三个带电小球为研究对象： kQ·qk9Q·q
2＝x－x2解得x＝ m
kQ·qk·9Q·Q
以＋Q为研究对象：2＝，
29Q
得q＝
16
8.如图2所示，大小可以不计的带有同种电荷的小球A和B互相排斥，静止时两球位于同一水平面上，绝缘细线与竖直方向的夹角分别为α和β，且α<β，由此可知( )
图2
A．B球带的电荷量较多 B．B球质量较大 C．B球受的拉力较大
D．两球接触后，再静止下来，两绝缘细线与竖直方向的夹角变为α′、β′，则仍有α′<β′ 答案 D
解析 两小球处于平衡状态，以小球A为研究对象受力分析如图所示，受三个力(mAg、F、FA)作用，以水平和竖直方向建立坐标系；利用平衡条件得FA·cos α＝mAg，FA·sin α＝F FF整理得：mAg＝ ，FA＝
tan αsin α同理对B受力分析也可得： FF
mBg＝，FB＝
tan βsin β
由于α<β，所以mA>mB，FA>FB，故B、C错．
不管qA、qB如何，A、B所受的库仑力是作用力、反作用力关系，大小总相等．两球接触后，虽然电荷量发生了变化，库仑力发生了变化，但大小总相等，静止后仍有α′<β′(因为mA>mB)，故A错，D对． 题组四 综合应用
9．如图3所示，把一带正电的小球a放在光滑绝缘斜面上，欲使球a能静止在斜面上，需在MN间放一带电小球b，则b应( )
图3
A．带负电，放在A点 B．带正电，放在B点 C．带负电，放在C点 D．带正电，放在C点 答案 C
解析 小球a受到重力、支持力和库仑力的作用处于平衡状态时，才能静止在斜面上．可知只有小球b带负电、放在C点才可使a受合力为零，故选C.
10．如图4所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电荷量均为q(q>0)的相同小球，小球之间用劲度系数均为k0的相同轻质弹簧绝缘连接．当3个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为l.已知静电力常量为k，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为( )
图4
5kq2
A．l＋
2k0l25kq2
C．l－
4k0l2答案 C
解析 本题考查库仑定律及胡克定律的应用．以最左边的小球为研究对象，其受到的弹簧的弹力等于其他两个小球对它的库仑斥力的和， q2q2
即 k0x ＝ k2＋k 2，
l4l
5kq2
弹簧的原长为 l－x＝l－，C项正确．
4k0l2
11．如图5所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘．两个带有同种电荷的小球A、B分别位于竖直墙面和水平地面上，且处于同一竖直平面内．若用图示方向的水平推力F作用于小球B，则两球静止于图示位置．如果将小球B向左推动少许，并待两球重新达到平衡时，与原来相比( )
kq2
B．l－2 k0l5kq2
D．l－ 2k0l2
图5
A．两小球间距离将增大，推力F将增大 B．两小球间距离将增大，推力F将减小 C．两小球间距离将减小，推力F将增大 D．两小球间距离将减小，推力F将减小 答案 B
解析 以A球为研究对象，其受力如图所示，小球A受到小球B对它的斥力F斥和墙壁对它的弹力FN的合力与其重力mg平衡．当将小球B向左推动少许，并待两球重新达到平衡时，F斥与竖直方向夹角α减小，则由图可判断斥力F斥减小，因此两小球间距离将增大，弹力FN减小；以A、B两球整体为研究对象，由平衡条件知F＝FN，故推力F将减小．故正确答案为B.
12.如图6所示，把质量为 g的带电小球A用丝线吊起，若将带电荷量为4×108 C的小球B靠近它，当两小球在同一高度且相距3 cm时，丝线与竖直方向夹角为45°.g取10 m/s2，则：
－
图6
(1)此时小球B受到的库仑力F的大小为多少？ (2)小球A带何种电荷？
(3)小球A所带电荷量大小是多少？
答案 (1)2×103 N (2)负电荷 (3)5×109 C
解析 根据题给条件，可知小球A处于平衡状态，分析小球A受力情况如图所示．mg：小球A的重力．FT：丝线的张力．F：小球B对小球A的库仑力．三个力的合力为零．
－
－
F＝mgtan 45°＝×103×10×1 N＝2×103 N. 题中小球A、B都视为点电荷， 它们相互吸引，其作用力大小 qA·qBF＝k2
r
qA·qB
F＝k2＝mgtan 45°，
r
2×103×3×1022－
所以qA＝ C＝5×109 C. －×10×4×10
小球B受到的库仑力与小球A受到的库仑力为作用力和反作用力，所以小球B受到的库仑力大小为2×103 N．小球A与小球B相互吸引，小球B带正电，故小球A带负电． 13.如图7所示，一个挂在绝缘细线下端的带正电的小球B，静止在图示位置，若固定的带正电小球A的电荷量为Q，B球的质量为m，带电荷量为q，θ＝30°，A和B在同一条水平线上，整个装置处于真空中，求A、B两球间的距离．
－－
－
－－
图7
答案
3kQq
mg
解析 如图所示，小球B受竖直向下的重力mg、沿绝缘细线的拉力FT、A对它的库仑力FC.
由力的平衡条件， 可知FC＝mgtan θ 根据库仑定律得 QqFC＝k2
r解得r＝
kQq
＝
mgtan θ
3kQq
mg
14.如图8所示，在光滑绝缘的水平面上沿一直线等距离排列三个小球A、B、C，三球质量均为m，A与B、B与C相距均为L(L比球半径r大得多)．若小球均带电，且qA＝＋10q，qB＝＋q，为保证三球间距不发生变化，将一水平向右的恒力F作用于C球，使三者一起向右匀加速运动．求：
图8
(1)F的大小；
(2)C球的电性和电荷量．
70kq240
答案 (1)2 (2)带负电，电荷量为q
L3
解析 因A、B为同种电荷，A球受到B球的库仑力向左，要使A向右匀加速运动，则A球必须受到C球施加的向右的库仑力．故C球带负电．设加速度为a，由牛顿第二定律有： 对A、B、C三球组成的整体， 有F＝3ma
10q·qCq·10q
对A球，有k·2－kL2＝ma 2L10q·qq·qC
对B球，有k2＋k2＝ma
LL70kq240
解得：F＝2 qC＝q
L3
