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第２３卷第６期 Ｖｏ１．２３，Ｎｏ．６ 滨州学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂｉｎｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ２００７年１２月 ＤｅＣ．，２００７ 柯洛夫金定理的一个推广 尹枥，窦向凯 （滨州学院数学与信息科学系，山东滨州２５６６０３） 摘 要：从经典线性正算子收敛的柯洛夫金定理出发，建立了适用范围更广的关于闭区间上 连续函数的柯洛夫金定理． 关键词：线性正算子；连续函数；柯洛夫金定理 中图分类号：Ｏ １７４．４１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３—２６１８（２００７）０６—００６７—０３ ０ 引 言 线性正算子收敛的柯洛夫金定理是经典函数逼近论的一个著名定理，与此相应的柯洛夫金理论已成 为线性正算子收敛性研究方面的重要课题之一．由于其重要性已推广至Ｂａｎａｃｈ空间和Ｂａｎａｃｈ格上，例如 可参阅Ｇ．Ｇ．Ｌｏｒｅｎｔｚ［ 等人的研究，本文仅就经典的柯洛夫金定理做出一个推广． １ 预备知识 定义１ 算子Ｌ（－厂； ）称为线性的，如果对算子定义域中的任意厂（￡），ｇ（￡）和ａ，ｂ∈Ｒ有以下等式成 立Ｌ（ａｆ＋ ； ）一ａＬ（－厂； ）＋ｂＬ（ｇ； ）． 定义２ 算子Ｌ（ｆｉｘ）称为线性正算子，如果对其定义域中的任意厂（￡）≥０，成立Ｌ（厂； ）≥０．如果 一个线性算子序列｛Ｌ （－厂； ）），ｎ一１，２，…中每一个线性算子都是正的，则称之为一个线性正算子序列． 线性正算子是一类非常普遍的算子，一些重要的逼近算子，如Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ算子，Ｌａｕｄａｎ算子，Ｖａｌｌｅｅ～ ｐｏｕｓｓｉｎ算子，Ｆｅｒｎｅｌ算子等都是线性正算子． 设ｃ［ｎ，６］为定义在有限闭区间［ｎ，６］上的连续函数，而映射Ｌ（厂（￡）； ）：厂（￡）一Ｌ（厂（￡）： ），对 Ｖ厂（￡）∈ｃ［ｎ，６］，其中当 固定时，Ｌ（厂； ）为ｃ［ｎ，６］到ｃ［ｎ，６］上的线性算子；而当厂（￡）固定时，则 — Ｌ（厂（￡）； ），Ｖ ｚ∈ ，６］，即当，（￡）固定时，Ｌ（，； ）为Ｃ［ｎ，６］的函数．本文总假定Ｌ（，（￡）； ）为线性正 算子． ２ 主要结果 定理１ 设厂（￡）在闭区问［ｎ，６］上有界、连续，若对线性正算子序列｛Ｌ （－厂； ）），ｎ一１，２…满足以下 条件：（１）Ｌ （１， ）一１＋ （ ）；（２）存在连续函数ｇ（１ ｔ－－ｘ １），使得Ｌ （ｇ（１ ｔ－－ｘ １）， ）一 （ ）．其中ｇ（．） 满足非负单调增且只可能当ｔ—ｚ时ｇ（ｆ ｔ— ｆ）一０，口 （ ）， （ ）在［ｎ，６］上皆一致收敛于０，则 ｛Ｌ ，（厂； ））在［ｎ，６］上一致收敛于－厂（ ）． 证明 由于函数－厂（￡）在闭区间［ｎ，６］上有界，ｊＭ＞ｏ，使得 一Ｍ＜厂（￡）一厂（ ）＜Ｍ． （１） 收稿日期：２００７一Ｏ５—１Ｏ 第一作者简介：尹枥（１９７９一），男，山东邹平人，讲师，主要从事函数逼近论与复杂性的研究． 维普资讯 http://www.cqvip.com ６８ 滨州学院学报 第２３卷 又因／（ｆ）在闭区问［“， 一ｆ：连续．所以一致连续，则对于Ｖ￡＞０． ＞０使得ｊ，一－『ｌ＜ 时，有 ￡＜／ （ｔ）一／（ ）＜￡ （２） 成立． 固定 ∈［＆， ］，令 （，）一ｇ（Ｊ — ），则由ｇ（ｊ ｔ— ｊ）的性质易得 ｅ一 ／ｌ（，）＜ 卜 ＿）＜ｅ＋ ）． （３） 事实上，若Ｉ ｔ－．￣Ｉ＜艿时．由（２）知不等式成立；而当Ｉ ｆ一 Ｉ＞ ，则轰 ｋ（ｔ）≥ （ ）一２Ｍ，所以 由（１）可得不等式成立． 由｛ｊ （厂； ） 为线性正算子序列，所以可得以下不等式： ￡Ｌ．ｆ（１； ）一 Ｌ．ｆ（ （ｆ）； ）＜Ｌ ／’（￡）； ）一－厂（ ）Ｌ １； ）＜￡Ｌ’ｆ（１； ）＋ Ｌ （ （ｆ）； ）． 再由已知条件可知： ．＼『，使得 ＞Ｎ及Ｖ ∈［“，６］，有 一￡＜Ｌ （－厂（ｔ）； ）一／’（ ）Ｌ （１； ）＜￡． 所以由定理条件可知｛Ｌ （¨， ） 在［“，６］一致收敛于－厂（ ）． 若取ｇ（Ｉ ｔ一 ｒ）＝ ｔ— 。则易验证满足定理１中的全部条件，即可得出著名的柯洛夫金定理． 推论１ 设＿厂（ｆ）在『才】区间［ａ，６］上有界、连续，若对线性正算子序列｛Ｌ （ ； ）｝， 一１，２…满足以 下条件：（１）Ｌ （１， ）一ｌ十 （ ）；（２）Ｌ （Ｉ ｔ～ Ｉ。， ）一 （ ）．其中ａ （ ）， （ ）在［ａ，６］一致收敛于０， 则｛Ｌ （－厂； ）｝在［“，６］一致收敛于／、（ ）． 在定理中，满足条件的连续函数ｇ（１ ｔ—ｚ）是非常多的，例如可取ｇ（Ｉ ｔ— １）一ｌ ｔ— ，其中 为 任意实数，所以条件更充分，更易验证． 关于周期连续函数，类似地还有： 定理２ 设／’（ｆ）在闭区间 ，６］上有界，连续且以２丌为周期．若对线性正算子序列｛Ｌ （／； ）｝， 一１，２… 满足以下条件：（１）Ｌ （１， ）一１＋ （ ）；（２）存在连续函数ｇ（Ｉ ｓｉｎ—ｔ－ ３７ Ｉ），使得Ｌ （ｇ（ｓｉｎ—ｔ－ ｘ Ｉ）， ）一 （ ）．其中ｇ（．）满足非负单调增且只可能当￡一 时ｇ（Ｉ ｓｉｎ—［－ ．２７ Ｉ）一０，其中 （ ）， （ ）在［ａ， 皆一致 收敛为０，则｛Ｌ （／ ； ）｝在 ａ，６］一致收敛于ｆ（ ）． 证明 由于函数厂（ｆ）在闭区间［“．６］上有界，所以 Ｍ＞０，使得（１）式成立，又因－厂（ｆ）在闭区间 ［ａ，６］上连续，所以一致连续，则对于Ｖ￡＞０， ＞０使得Ｉ ｔ— Ｉ＜ 时，有（２）成立． 同定丁∈ Ｌ“， ］，取一个长为２丌的半开区间 ｒ一 ＜ｆ≤２丌＋ 一 ，令 （ ）一ｇ（Ｉ ｓｉｎ ）则有 ｇ（『ｓｉｎ丁ｔ－－．１＂ ）的性质易得： ｅ一 ）＜＿厂（ ）＜ｅ＋ ）． （４） 事实上，若』￡一 、｛＜ 时，由（２）即知不等式成立，而当Ｉ￡一 ｝＞ ，则萼≤ ≤丌一萼，所以 Ｉｓｉｎ—ｔ－ Ｓ￣’ ≥ｓｉｎ萼 则 乒（，）≥麦 （ ）一２Ｍ，所以由（１）可得不等式成立．又因 （ｆ）以２丌周期所 以可得不等式 一ｅ一 丌）＜ｆ（ｔ） （ ）＜ 所以一船士ｆｂ ｒ十２ 佰存半开 问（２ －Ｌ．ｒ一 ，２ｋｚｒ＋２丌＋．ｒ一 。ｋ一０。＋］，＋２…中蛮动。汶 半开Ｉ又＝ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第６期 尹 枥，窦向凯 柯洛夫金定理的一个推广 ６９ 问全体覆盖整个实轴，所以不等式（４）对一切ｚ成立． 再由｛Ｌ，，（，’；ｚ）｝为线性正算子序列，可得以下不等式： 一￡Ｌ （１； ）一而２Ｍ Ｌ 厂（ ）＜Ｌ（，，）一／ （ （１； ）＜ｅＬ ）＋而２Ｍ Ｌ ）・ 由已知条件可知：了Ｎ，使得 ＞Ｎ及Ｖ ∈Ｅａ，６］，成立 ｅ＜Ｌ （＿厂（ ）； ）一＿厂（ ）， （１； ）＜ｅ． 再由定理条件可知｛Ｌ （厂； ））在［＆，６］上一致收敛于＿厂（ ’）． 若取ｇ（ｔ ｉｎ 定理． ｊ）＝ｓｉｎ２ ，则易验证满足定理２中的全部条件，即可得出著名的柯洛夫金 推论２ 设．厂（ｆ）在闭ＫＩＮ Ｅａ，６］上有界、连续，若对线性正算子序列｛Ｌ， （Ｌ， ）｝，” １，２，…满足以 下条件：（１）Ｌ，，（１， ）一１＋ （ ）；（２）Ｌ，，（ｓｉｎ。 ０，则｛Ｌ， （，’； ））存［“， ］一致收敛于厂（Ｌｚ’）． ， ）一卢 （ ）．其中 （ ）， ，（＿）在［“，６］皆一致收敛于 参 考 文 献：［１］ Ｂｅｒｅｎｓ Ｈ，ｇｏｒｅｎｔｚ Ｇ Ｇ．Ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ Ｋｏｒｏｖｋｉｎ ｔｙｐｅ ｆｏｒ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｎ ｂａｎａｃｈ ｌａｔｔｉｃｅｓ ＥＪ］．Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ，１９７３，３１：１—３０． ｎ．线性算子与４．￣－／ｅＥＭ］．郑维行，译．北京：人民教育出版社，１ ９６０． ［２］ ＫｏｒｏｖｋｉＡ Ｇｅｎｅｒａｌａｔｉｏｎ ｏｎ ＫＯｒｏｖｋｉｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ＹＩＮ Ｌｉ，ＤＯＵ Ｘｉａｎｇ—ｋａｉ ｒ Ｄｅｐａｔ ｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏ， ｍａｒｉｏｎ Ｓ（’ｉｅｍ’ ， Ｂｉｎｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｉｎｚｈｏｕ ２５６６０３．Ｃｈ ｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｋｏｒｏｖｋｉｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ０１３ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａ ｔｏｒｓ，ａ Ｋｏｒｏｖｋｉｎ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｎｄ ｍｏｒｅ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ；ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｋｏｒｏｖｋｉｎ ｔｈｅｏｒｅｍ （责任编辑：王健）
