《垂直于弦的直径》教学设计

1.知识目标：通过微课讲解学习，使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理及推论，并会用它解决有关的计算问题；掌握辅助线的作法——作弦心距。

2.能力目标：通过微课讲解学习，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； 3.情感目标：通过微课讲解,学生自主学习活动，培养学生观察能力， 激发学生的好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获得成功的体验。 教学重点：垂径定理的应用

教学难点：垂径定理的题设与结论的区分 教学关键：理解圆的轴对称性 教学过程： （一）创设情景

问题：（课件）同学们，你们对赵州桥了解吗？赵州桥是我国古代劳动人民的智慧结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

【设计意图】：激发学生的学习兴趣，同时对学生进行爱国主义教育，并揭示主题。 （二）自主学习 1、圆的轴对称性

圆是 图形， 所在的直线都是它的对称轴，圆有 条对称轴。 2、垂径定理：

定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的 条弧． 符号语言：∵ . ∴ .

推论：平分弦（ ）的直径 弦，并且 弦所对的 条弧． 符号语言：∵ . ∴ .

【设计意图】：通过微课讲解教学，培养学生自主学习能力，调动学生学习兴趣，培养学生动眼、动脑、分析、逻辑思维和归纳概括能力。 （三）运用新知

【设计意图】强调垂径定理中的两个条件，垂直于弦和直径缺一不可。 变式练习1

1、如图，ＡＢ是○０的直径，ＣＤ为弦，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｅ，则下列结论中不成立的是（ ） 例2：（轻松闯关）已知⊙O的半径是5cm，圆心O到 弦AB的距离是3cm，弦AB= cm

【设计意图】：通过学生自主学习、小组合作完成例题的探究，学生通过归纳总结方法，提高分析和归纳的能力，体会合作学习的快乐。 变式练习2：

1．如图，在半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm，那么圆心O到弦AB的距离是 cm.

例3：（扎实基础）一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。

【设计意图】结合实际问题，并由此题总结归纳出： 在解决圆中有关弦、半径的计算问题时的技巧， （1）作辅助线：过圆心做弦的垂线；

（2）重要思路：（由）垂径定理——构造Rt△——（结合）勾股定理 变式练习3

1.圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图左图所示。若油面宽AB=80cm，油桶半径50cm，求油的最大深度是 厘米。

【设计意图】：变式练习2、3，是垂径定理的简单应用，可调动学生积极性，感受成功的喜悦。练习中勾股定理和垂径定理知识点有机的结合在一起，使其更深入地掌握定理的内涵，培养他们思维的严谨性和深刻性。

例4：（大显身手）赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，赵州桥主桥拱的半径多少？

【设计意图】：通过前面学习，奠实了基础后，回到情景问题，并用所学知识解决，即掌握了知识，又增加了学习数学的兴趣，更让学生体会到成功的喜悦。同时，通过学生自主学习、小组合作完成例题的探究，学生通过归纳总结方法，提高分析和归纳的能力，体会合作学习的快乐。 （四）拓展升华

思考：如果把垂径定理结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？ 列出垂径定理结论与题设的五个条件 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦

（4）这条直线平分弦所对的优弧 （5）这条直线平分弦所对的劣弧

直接揭示垂径定理的本质是：满足上述五条的其中任两条，必定同时满足另三条——知二推三。

【设计意图】通过拓展升华的知识，为下节课做好铺垫。 （五）学海拾贝

请围绕以下两个方面小结本节课： 1.从知识上学习了什么？ 2.从方法上学习了什么？

【设计意图】：回顾这节课的内容，加深学生对知识的印象，巩固解决此类问题的方法，渗透建模思想，使教学效果得到提高。 （六）分层作业

1．（绍兴?中考）如图，已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( ) A.3 B.4 C.6 D.8

2.（毕节?中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是 ．

（选作）4.在在上题中,如果已计算出⊙Ｏ的半径保持不变,水面宽度由60cm变为80cm,那么污水面下降了多少cm?

【设计意图】作业分层给出，完成必做题，可继续完成选择题，调动学生学习积极性，培养学生良好的学习习惯，让学有余力的学生进一步的提高。