(每日一练)高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练
单选题
1、下列各式中关系符号运用正确的是（ ） A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2} C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2} 答案：C
分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可. 根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误； 根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误； 根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确. 故选：C.
5𝑛1𝑝1
2、已知集合𝑀={𝑥|𝑥=𝑚−6,𝑚∈Z }，𝑁={𝑥|𝑥=2−3,𝑛∈Z }，𝑃={𝑥|𝑥=2+6,𝑝∈Z }，则集合𝑀，𝑁，𝑃的关系为
（ ）
A．𝑀=𝑁=𝑃B．𝑀⊆𝑁=𝑃 C．𝑀⊆𝑁⊈𝑃D．𝑀⊆𝑁，𝑁∩𝑃=∅ 答案：B
分析：对集合𝑀,𝑁,𝑃中的元素通项进行通分，注意3𝑛-2与3𝑝+1都是表示同一类数，6𝑚-5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.
1
对于集合𝑀={𝑥|𝑥=𝑚-5,𝑚∈Z }，𝑥=𝑚-56𝑚-56(𝑚-1)+1
66=6=6，
对于集合𝑁={𝑥|𝑥=𝑛1𝑛132-3
,𝑛∈Z }，𝑥=𝑛-23(𝑛-1)+1
2-3
=6
=6
，
对于集合𝑃={𝑥|𝑥=𝑝1𝑝13𝑝+12
+6
,𝑝∈Z }，𝑥=2
+6
=6
，
由于集合𝑀,𝑁,𝑃中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且𝑚,𝑛,𝑝∈Z，
注意到3(𝑛-1)+1与3𝑝+1表示的数都是3的倍数加1，6(𝑚-1)+1表示的数是6的倍数加1， 所以6(𝑚-1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集， 所以𝑀∈𝑁=𝑃. 故选：B.
3、已知集合𝐴={𝑥|−1<𝑥≤2}，𝐵={−2,−1,0,2,4}，则(∁R𝐴)∩𝐵=（ ） A．∅B．{−1,2}C．{−2,4}D．{−2,−1,4} 答案：D
分析：利用补集定义求出∁𝑅𝐴，利用交集定义能求出(∁R𝐴)∩𝐵． 解：集合𝐴={𝑥|−1<𝑥≤2}，𝐵={−2,−1,0,2,4}， 则∁R𝐴={𝑥|𝑥≤−1或𝑥>2}， ∴(∁R𝐴)∩𝐵={−2,−1,4}． 故选：D
4、设集合𝐴={−1,0,1,2}，𝐵={1,2}，𝐶={𝑥|𝑥=𝑎𝑏,𝑎∈𝐴,𝑏∈𝐵 }，则集合𝐶中元素的个数为（A．5B．6C．7D．8 答案：B
分析：分别在集合𝐴,𝐵中取𝑎,𝑏，由此可求得𝑥所有可能的取值，进而得到结果.
2
） 当𝑎=−1，𝑏=1时，𝑎𝑏=−1；当𝑎=−1，𝑏=2时，𝑎𝑏=−2； 当𝑎=0，𝑏=1或2时，𝑎𝑏=0；当𝑎=1，𝑏=1时，𝑎𝑏=1；
当𝑎=1，𝑏=2或𝑎=2，𝑏=1时，𝑎𝑏=2；当𝑎=2，𝑏=2时，𝑎𝑏=4； ∴𝐶={−2,−1,0,1,2,4}，故𝐶中元素的个数为6个. 故选：B.
5、已知集合𝐴={−1,0,1,2}，𝐵={𝑥|𝑥2≤1}，则𝐴∩𝐵=（ ） A．{−1,0,1}B．{0,1}C．{−1,1}D．{0,1,2} 答案：A
分析：先计算集合B里的不等式，将B所代表的区间计算出来，再根据交集的定义计算即可. 不等式𝑥2≤1 ，即−1≤𝑥≤1 ，𝐵=[−1,1] ，
𝐴={−1,0,1,2}，𝐵={𝑥|−1≤𝑥≤1 }，所以𝐴∩𝐵={−1,0,1}； 故选：A．
6、设集合𝐴={2,𝑎2−𝑎+2,1−𝑎}，若4∈𝐴，则𝑎的值为（ ）． A．−1，2B．−3C．−1，−3，2D．−3，2 答案：D
分析：由集合中元素确定性得到：𝑎=−1，𝑎=2或𝑎=−3，通过检验，排除掉𝑎=−1. 由集合中元素的确定性知𝑎2−𝑎+2=4或1−𝑎=4．
当𝑎2−𝑎+2=4时，𝑎=−1或𝑎=2；当1−𝑎=4时，𝑎=−3． 当𝑎=−1时，𝐴={2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故𝑎=−1舍去； 当𝑎=2时，𝐴={2,4,−1}满足集合中元素的互异性，故𝑎=2满足要求； 当𝑎=−3时，𝐴={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故𝑎=−3满足要求．
3
综上，𝑎=2或𝑎=−3． 故选：D．
7、已知集合𝑀={𝑥|𝑥=2𝑘+1,𝑘∈𝑍 }，集合𝑁={𝑦|𝑦=4𝑘+3,𝑘∈𝑍 }，则𝑀∪𝑁=（ ） A．{𝑥|𝑥=6𝑘+2,𝑘∈𝑍 }B．{𝑥|𝑥=4𝑘+2,𝑘∈𝑍 } C．{𝑥|𝑥=2𝑘+1,𝑘∈𝑍 }D．∅ 答案：C
分析：通过对集合𝑁的化简即可判定出集合关系，得到结果. 因为集合𝑀={𝑥|𝑥=2𝑘+1,𝑘∈𝑍}，
集合𝑁={𝑦|𝑦=4𝑘+3,𝑘∈𝑍}={𝑦|𝑦=2(2𝑘+1)+1,𝑘∈𝑍}， 因为𝑥∈𝑁时，𝑥∈𝑀成立， 所以𝑀∪𝑁={𝑥|𝑥=2𝑘+1,𝑘∈𝑍}. 故选：C.
8、已知p：√𝑥−1>2，q：𝑚−𝑥<0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（A．𝑚<3B．𝑚>3C．𝑚<5D．𝑚>5 答案：C
分析：先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案. 命题p：因为√𝑥−1>2，所以𝑥−1>4，解得𝑥>5， 命题q：𝑥>𝑚，
因为p是q的充分不必要条件， 所以𝑚<5. 故选：C
4
） 9、已知集合𝑃={𝑥|𝑥=2𝑘−1,𝑘∈𝑁∗ }和集合𝑀={𝑥|𝑥=𝑎⊕𝑏，𝑎∈𝑃，𝑏∈𝑃}，若𝑀⊆𝑃，则𝑀中的运算“⊕”是（ ）
A．加法B．除法C．乘法D．减法 答案：C
分析：用特殊值，根据四则运算检验．
若𝑎=3,𝑏=1，则𝑎+𝑏=4 ∉𝑃，𝑎−𝑏=2∉𝑃，=∉𝑃，因此排除ABD．
𝑎
3𝑏
1
故选：C．
10、等比数列{𝑎𝑛}的公比为q，前n项和为𝑆𝑛，设甲：𝑞>0，乙：{𝑆𝑛}是递增数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案：B
分析：当𝑞>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{𝑆𝑛}是递增数列时，必有𝑎𝑛>0成立即可说明𝑞>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 由题，当数列为−2,−4,−8,⋯时，满足𝑞>0， 但是{𝑆𝑛}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若{𝑆𝑛}是递增数列，则必有𝑎𝑛>0成立，若𝑞>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则𝑞>0成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B．
小提示：在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
5
多选题
11、已知集合𝐴={𝑥|𝑥2−𝑥−6=0},𝐵={𝑥|𝑚𝑥−1=0}, 𝐴∩𝐵=𝐵，则实数𝑚取值为（ ） A．B．−C．−D．0
3
2
3
1
1
1
答案：ABD
解析：先求集合A，由𝐴∩𝐵=𝐵得𝐵⊆𝐴，然后分𝐵=∅和𝐵≠∅两种情况求解即可 解：由𝑥2−𝑥−6=0，得𝑥=−2或𝑥=3， 所以𝐴={−2,3}，
因为𝐴∩𝐵=𝐵，所以𝐵⊆𝐴，
当𝐵=∅时，方程𝑚𝑥−1=0无解，则𝑚=0，
1
当𝐵≠∅时，即𝑚≠0，方程𝑚𝑥−1=0的解为𝑥=𝑚， 因为𝐵⊆𝐴，所以=−2或=3，解得𝑚=−或𝑚=，
𝑚
𝑚
2
3
12
13
1
1
1
1
综上𝑚=0，或𝑚=−，或𝑚=，
故选：ABD
小提示：此题考查集合的交集的性质，考查由集合间的包含关系求参数的值，属于基础题 12、下列四个命题中正确的是（ ） A．∅={0}
B．由实数x，－x，|𝑥|，√𝑥2，−√𝑥3所组成的集合最多含2个元素 C．集合{𝑥|𝑥 2−2𝑥+1=0}中只有一个元素
5
D．集合{𝑥∈𝑁|𝑥∈𝑁 }是有限集
3
答案：BCD
6
分析：根据集合的定义和性质逐项判断可得答案.
对于A，空集不含任何元素，集合{0}有一个元素0，所以∅={0}不正确；
对于B，由于√𝑥2=|𝑥|，−√𝑥3=−𝑥，且在x，－x，|𝑥|中，当𝑥>0时，|𝑥|=𝑥，当𝑥<0时，|𝑥|=−𝑥，当𝑥=0时，|𝑥|=𝑥=−𝑥=0，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故B正确；
对于C，{𝑥|𝑥2−2𝑥+1 =0}={1}，故该集合中只有一个元素，故C正确；
5
对于D，集合{𝑥∈𝑁|∈𝑁 }={1,5}是有限集，故D正确．
𝑥
3
故选：BCD．
13、下列说法正确的是（ ） A．我校爱好足球的同学组成一个集合 B．{1,2,3}是不大于3的正整数组成的集合 C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合
1
3
6
1
D．数1，0，5，2，2，4，√4组成的集合有7个元素 答案：BC
分析：根据集合的元素的特征逐一判断即可. 我校爱好足球的同学不能组成一个集合； {1,2,3}是不大于3的正整数组成的集合； 集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合；
由于2=4,2=√4，所以数1，0，5，2，2，4，√4组成的集合有5个元素； 故选：BC
14、对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，
7
36111361
B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅ B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝B C．若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B D．存在A，B⊆R，使得A⊕B＝∁𝑅𝐴⊕∁𝑅𝐵 E．存在A，B⊆R，使得𝐴⊕𝐵 ≠𝐵⊕𝐴 答案：ABD
解析：根据新定义判断．
根据定义𝐴⊕𝐵=[(∁𝑅𝐴)∩𝐵]∪[𝐴∩(∁𝑅𝐵)]，
A.若𝐴⊕𝐵=𝐵，则∁𝑅𝐴∩𝐵=𝐵，𝐴∩∁𝑅𝐵=∅，∁𝑅𝐴∩𝐵=𝐵 ⇒𝐵⊆∁𝑅𝐴，𝐴∩∁𝑅𝐵=∅ ⇒𝐴⊆𝐵，∴𝐴=∅，A正确；
B.若𝐴⊕𝐵=∅，则∁𝑅𝐴∩𝐵=∅，𝐴∩∁𝑅𝐵=∅，𝐴∩𝐵=𝐴=𝐵，B正确； C. 若𝐴⊕𝐵⊆𝐴，则∁𝑅𝐴∩𝐵=∅，𝐴∩∁𝑅𝐵⊆𝐴，则𝐵⊆𝐴，C错； D.𝐴=𝐵时，𝐴⊕𝐵=∅，(∁𝑅𝐴)⊕(∁𝑅𝐵)=∅=𝐴⊕𝐵，D正确； E.由定义，𝐴⊕𝐵=[(∁𝑅𝐴)∩𝐵]∪[𝐴∩(∁𝑅𝐵)] =𝐵⊕𝐴，E错． 故选：ABD．
小提示：本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算． 15、（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（ ） A．∃𝑥∈R，𝑥2−𝑥+4<0B．所有的正方形都是矩形
C．∃𝑥∈R，𝑥2+2𝑥+2=0D．至少有一个实数x，使𝑥3+1=0 答案：AC
8
1
分析：AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；D. 原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.
1
1
12
A.原命题的否定为：∀𝑥∈𝑅，𝑥−𝑥+≥0，是全称量词命题；因为𝑥−𝑥+=(𝑥−)≥0，所以原命题的
442否定为真命题，所以该选项符合题意；
B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；
C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程𝑥2+2𝑥+2=0，Δ=22−8=−4<0，所以𝑥2+2𝑥+2>0，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.
D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有𝑥3+1≠0，如𝑥=−1时，𝑥3+1=0，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意. 故选：AC
16、已知关于x的方程𝑥2+(𝑚−3)𝑥+𝑚=0，下列结论正确的是（ ） A．方程𝑥2+(𝑚−3)𝑥+𝑚=0有实数根的充要条件是𝑚∈{𝑚|𝑚<1或𝑚>9} B．方程𝑥2+(𝑚−3)𝑥+𝑚=0有一正一负根的充要条件是𝑚∈{𝑚∣0<𝑚≤1} C．方程𝑥2+(𝑚−3)𝑥+𝑚=0有两正实数根的充要条件是𝑚∈{𝑚∣0<𝑚≤1} D．方程𝑥2+(𝑚−3)𝑥+𝑚=0无实数根的必要条件是𝑚∈{𝑚|𝑚>1} 答案：CD
解析：根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一判断即可.
在A中，二次方程有实数根，等价于判别式𝛥=(𝑚−3)2−4𝑚≥0，解得𝑚≤1或𝑚≥9，即二次方程有实数根的充要条件是𝑚∈{𝑚|𝑚≤1或𝑚≥9}，故A错误；
2
在B中，二次方程有一正一负根，等价于{(𝑚−3)−4𝑚>0 ，解得𝑚<0，
𝑚<0
22
方程有一正一负根的充要条件是𝑚∈{𝑚|𝑚<0 }，故B错误；
9
𝛥=(𝑚−3)2−4𝑚≥0
解得0<𝑚≤1，故方程有两正实数根的充要条在C中，方程有两正实数根，等价于{3−𝑚>0,
𝑚>0,件是𝑚∈{𝑚∣0<𝑚≤1}，故C正确；
在D中，方程无实数根，等价于𝛥=(𝑚−3)2−4𝑚<0得1<𝑚<9，
而{𝑚|1<𝑚<9 }⊆{𝑚|𝑚>1 }，故𝑚∈{𝑚|𝑚>1}是方程无实数根的必要条件，故D正确； 故选：CD．
小提示：名师点评关于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若𝑝是𝑞的充分条件，则𝑝可推出𝑞，即𝑝对应集合是𝑞对应集合的子集； （2）若𝑝是𝑞的必要条件，则𝑞可推出𝑝，即𝑞对应集合是𝑝对应集合的子集； （3）若𝑝是𝑞的充要条件，则𝑝，𝑞可互推，即𝑝对应集合与𝑞对应集合相等.
17、下列四个条件中可以作为方程𝑎𝑥2−𝑥+1=0有实根的充分不必要条件是（ ） A．a=0B．𝑎≤4C．𝑎=−1D．𝑎≠0 答案：AC
分析：先化简方程𝑎𝑥2−𝑥+1=0有实根得到𝑎≤，再利用集合的关系判断得解.
41
1
当𝑎=0时，方程𝑎𝑥2−𝑥+1=0有实根𝑥=1；
当𝑎≠0时，方程𝑎𝑥2−𝑥+1=0有实根即𝛥=1−4𝑎≥0,∴𝑎≤4. 所以𝑎≤4且𝑎≠0. 综合得𝑎≤.
4
1
11
1
设选项对应的集合为𝐴, 集合𝐵=(−∞,4], 由题得集合𝐴是集合𝐵的真子集， 所以只能选AC.
10
所以答案是：AC
小提示：方法点睛：充分条件必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
18、已知集合𝐴={𝑥|𝑎𝑥=1}，𝐵={0，1，2}，若𝐴⊆𝐵，则实数𝑎可以为（ ） A．2B．1
C．0D．以上选项都不对 答案：ABC
解析：由子集定义得𝐴=∅或𝐴={1}或𝐴={2}，从而不存在，=1，=2，由此能求出实数𝑎．
𝑎
𝑎
𝑎
1
1
1
1
解：∵集合𝐴={𝑥|𝑎𝑥=1}，𝐵={0，1，2}，𝐴⊆𝐵， ∴𝐴=∅或𝐴={1}或𝐴={2}， ∴ 不存在，=1，=2，
𝑎
𝑎
𝑎
1
1
1
1
解得𝑎=1，或𝑎=1，或𝑎=2． 故选：ABC．
小提示：本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
19、已知全集为𝑈，𝐴，𝐵是𝑈的非空子集且𝐴⊆∁𝑈𝐵，则下列关系一定正确的是（ ） A．∃𝑥∈𝑈，𝑥∉𝐴且𝑥∈𝐵B．∀𝑥∈𝐴，𝑥∉𝐵 C．∀𝑥∈𝑈，𝑥∈𝐴或𝑥∈𝐵D．∃𝑥∈𝑈，𝑥∈𝐴且𝑥∈𝐵 答案：AB
分析：根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.
全集为𝑈，𝐴，𝐵是𝑈的非空子集且𝐴⊆∁𝑈𝐵，则𝐴，𝐵，𝑈的关系用韦恩图表示如图，
11
观察图形知，∃𝑥∈𝑈，𝑥∉𝐴且𝑥∈𝐵，A正确； 因𝐴∩𝐵=∅，必有∀𝑥∈𝐴，𝑥∉𝐵，B正确；
若𝐴∁𝑈𝐵，则(∁𝑈𝐴)∩(∁𝑈𝐵)≠∅，此时∃𝑥∈𝑈，𝑥∈[(∁𝑈𝐴)∩(∁𝑈𝐵)]，即𝑥∉𝐴且𝑥∉𝐵，C不正确； 因𝐴∩𝐵=∅，则不存在𝑥∈𝑈满足𝑥∈𝐴且𝑥∈𝐵，D不正确. 故选：AB
20、下列各题中，p是q的充要条件的有（ ）
A．p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分 B．p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例 C．p：xy>0；q：x>0，y>0
D．p：x=1是一元二次方程ax+bx+c=0的一个根；q：a+b+c=0（a≠0） 答案：BD
分析：根据充要条件的定义对各选项逐一进行分析讨论并判定作答.
对于A，四边形是正方形则四边形的对角线互相垂直且平分成立，但四边形的对角线互相垂直且平分四边形可能是菱形，即p不是q的充要条件，A不是；
对于B，两个三角形相似与两个三角形三边成比例能互相推出，即p是q的充要条件，B是； 对于C，xy>0不能推出x>0，y>0，可能x<0，y<0，即p不是q的充要条件，C不是； 对于D，x=1是一元二次方程ax+bx+c=0的一个根，可得a+b+c=0，
反之，当a+b+c=0时，把c=-a-b代入方程ax+bx+c=0得ax+bx-a-b=0，即(ax+a+b)(x-1)=0，显然x=1是方程的一个根，即p是q的充要条件，D是.
12
2222故选：BD 填空题
21、用符号“∈”或“∉”填空：
（1）设集合B是小于√11的所有实数的集合，则2√3______B，1+√2______B；
（2）设集合D是由满足方程𝑦=𝑥2的有序实数对(𝑥,𝑦)组成的集合，则－1______D，(−1,1)______D． 答案： ∉ ∈ ∉ ∈
分析：（1）先判断2√3，1+√2与√11的大小关系，再根据元素与集合的关系求解， （2）集合D是点集，可知−1不在此集合中，再将(−1,1)代入函数解析式中验证即可. （1）∵2√3=√12>√11，∴2√3∉𝐵． ∵1+√2<3<√11，∴1+√2∈𝐵．
（2）∵集合D中的元素是有序实数对(𝑥,𝑦)，而－1不是有序实数对，∴−1∉𝐷． ∵(−1)2=1，∴(−1,1)是满足方程𝑦=𝑥2的有序实数对， ∴(−1,1)∈𝐷．
所以答案是：∉，∈，∉，∈.
22、设集合𝐴={−1,1,3}，𝐵={𝑎+2,𝑎2+4}，𝐴∩𝐵={3}.则实数𝑎=_______. 答案：1
分析：由𝐴∩𝐵={3}可得3∈𝐴,3∈𝐵，从而得到𝑎+2=3，即可得到答案. 因为𝐴∩𝐵={3}，所以3∈𝐴,3∈𝐵，
显然𝑎2+4≠3，所以𝑎+2=3，解得：𝑎=1. 所以答案是：1.
小提示：本题考查利用集合的基本运算求参数值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
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23、已知集合𝐴={𝑥|−2≤𝑥≤7}，𝐵={𝑥|𝑚+1≤𝑥≤2𝑚−1}，若𝐵⊆𝐴，则实数𝑚的取值范围是____________． 答案：(−∞,4]
分析：分情况讨论：当𝐵=∅或𝐵≠∅，根据集合的包含关系即可求解. 当𝐵=∅时，有𝑚+1≥2𝑚−1，则𝑚≤2； 当𝐵≠∅时，若𝐵⊆𝐴，如图，
𝑚+1≥−2,
则{2𝑚−1≤7, 解得2<𝑚≤4． 𝑚+1<2𝑚−1,综上，𝑚的取值范围为(−∞,4]． 所以答案是：(−∞,4]
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