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１０４ 内蒙古科技与经济 ２００２年第２期 斯托尔兹定理的推广和应用 扬文中 （内蒙古电视大学呼铁局舟校，内蒙古呼和浩特０１００２２） 摘 要：极艰理论是数学分析的基础。一般的分析教材中都给出了斯托尔盏定理，利用它可以求一 些数列的极限，但斯托尔兹定理本身并不完美，它仅仅适用于数列。本文时斯托尔茧定理进行了推广ｔ推 广到函数的情形，并给出了推广的斯托尔蓝定理的几个应用，说明了推广后的斯托尔茧定理比原定理应 用范围更广。 关键词：斯托尔茧定理；推广；应用 中图分类号：０１ ７１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７～６９２１（２００２）０２—０１０４－－０３ 极限理论是数学分析的基础，用求极限的方法 设Ｔ为正常数，若函数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）在（ａ，＋ｃｏ） 解题是数学解题的重要手段，因此有必要对极限理 上满足 论作深入研究。斯托尔兹定理是计算数列极限的重 １。ｇ（ｘ＋Ｔ）＞ｇ（ｘ），且 ｇ（ｘ）＝＋ｏ。， 要方法，可以解决“ ｏｏ”及“詈”型未定式数列的极 ２。ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）在（ａ，＋。。）的任意有限子区间上 限。 有界， １斯托尔兹定理的内容 ３。 ；Ａ（一ｏ。≤Ａ≤＋ １．Ｉ定理１（竺型） ｏｏ） 鼻。。 Ａ 设有数列｛ ｝，其中Ｙ 单调增加，且ｙ 一十。。 证明：不妨设ｇ（ｘ）＞０，ＸＣ－（ａ，＋ｃｏ），由３。及极 限定义易知，对任意给定的ｅ＞０，必有Ｍ＞ａ，（Ｍ为 （ｎ一∞），若ｎ 一ｋ，（一∞≤ｋ≤＋∞）， 正数）使对一切ＸＣ－（Ｍ，Ｍ＋Ｔ］及一切自然数Ｐ，有 则 一ｋ （Ａ～Ｅ）（ｇ（ｘ＋Ｔ）－－ｇ（ｘ）］＜ｆ（ｘ＋Ｔ）－－ｆ（ｘ）＜ （Ａ＋ｅ） ０士Ｔ）－－ｇ（ｘ）３ １．２定理２（旦型） （Ａ－－ｓ） （ｘ＋２Ｔ）－－ｇ（ｘ＋Ｔ）３＜｛ ＋２Ｔ）一｛ （ｘ＋Ｔ）＜（Ａ＋Ｅ） （ｘ＋２Ｔ）－－ｇ（ｘ＋Ｔ）３ 设有数列｛ ｝，其中ｘ 一ｏ（ｎ一一），Ｙ 单调碱 少且ｙ 一。（ｎ一。。），若ｎ Ｙ二兰Ｙ．＋ ｔ＝ｋ（一。。≤ｋ ｔＡ—ｅ）（ｇ（ｘ＋ｐＴ）－－ｇ（ｘ＋（ｐ一１）Ｔ）］＜ｆ（ｘ＋ －＝ｐＴ）一ｆ（ｘ＋（ｐ一１）Ｔ）＜（Ａ＋ｅ）（ｇ（ｘ＋ｐＴ）－－ｇ（ｘ＋ ≤＋。。），则ｎ 一ｋ。 （ｐ一１）Ｔｊ］以上各式相加，得 上述定理的证明见参考文献①，本文不再赘述。 （Ａ－－ｓ）（ｇ（ｘ＋ｐＴ）－－ｇ（ｘ）］＜ｆ（ｘ＋ｐＴ）－－ｆ（ｘ） 这里要说的是斯托尔兹定理虽然是求极限的一种重 ＜（Ａ＋ｅ）（ｇ（ｘ＋ｐＴ）－－ｇ（ｘ）］ （＊） 要方法，但它有很大的局限性，那就是它只适用于数 利用上式右边不等式可得： 列。下面我们把它推广到函数的情形并进而研究推 ｇ（ｘ ｐＴ）＜ｆ（ｘ＋ ｐＴ）一—ｇ（ ｘ ｐＴ）＋。…（Ａ＋…Ｅ）（１一 ‘ 广后的定理的几个应用。 ２斯托尔兹定理的推广 曼 兰２ 、 ｇ（ｘ＋ｐＴ） ２．１定理３（竺型） 由于显然ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）在（Ｍ，Ｍ＋Ｔ）中有界，当 维普资讯 http://www.cqvip.com
２００２年第２期 斯托尔兹定理的推广和应用 １０５ 一十。。时，ｇｔｘ十Ｐｌ ｊ关于ｘ一般趋于十。ｃ・敬仔征 正整数Ｐ。，使 ＜Ａ＋２Ｅ，（ｐ≥ｐ。，ｘＥ ＣＭ，Ｍ＿Ｔ、） 于是对一切ｙ≥Ａ＋ｐ。，恒有 ｌｆＹ）（Ａ－ｒ－２￡ ｙ））ＡＮｙ甄 ≤Ａ＋２Ｅ 由于ｅ的任意性，故ｙ 军。。 ≤Ａ 利用（＊）式左边不等式，得： ＋（Ａ一 ［１一 ］＜ ｆ（ｘ干＋Ｐ而Ｔ） 即有 ｇ（ｘ＋ＰＴ） 一（Ａ— ）・［１一 ］一ｅ＜ ｆ（ｘ＋ＰＴ） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．——ｇ（ｘ＋ＰＴ） 对一切ｙ≥Ｍ＋ ，恒有袅 ＞Ａ一２ 从而 ｌｉｍ十。。一Ａ一２￡，由￡的任意性 ｌｉａｒ ≥Ａ． ，于是 ：， ： ＝Ａ 亦即ｙ 。。 ＝Ａ 当Ａ一＋。。时，对于任意Ｇ＞Ｏ，存在Ｍ＞０， 对Ｘ∈［Ｍ，Ｍ＋Ｔ］及一切自然数Ｐ，有 ｆ（Ｘ＋Ｔ）－－ｆ（ｘ）、，、 雨 即有ｆ（Ｘ＋Ｔ）－－ｆ（ｘ）＞Ｇ［ｇ（Ｘ＋Ｔ）一ｇ（ｘ）］ ｆ（Ｘ＋２Ｔ）－－ｆ（Ｘ＋Ｔ）＞Ｇ［ｇ（Ｘ＋２Ｔ）一 ｇ（Ｘ＋Ｔ）］ ｆ（Ｘ＋ＰＴ）－－ｆｉｘ＋（Ｐ－－１）Ｔ）＞ＧＣｇ（ｘ＋ ＰＴ）一ｇ（ｘ＋（Ｐ－－１）Ｔ）］ 上式相加，得：ｆ（ｘｑ－ＰＴ）－－ｆ（ｘ）＞Ｇ Ｃｇ（Ｘ＋ＰＴ） 一ｇ（Ｘ）］ 于是有： ｆ（ｉｘ＋ＰＴ）＞Ｇ １一 十ＰＴ）］＋ ｆ（ｘ） ｇ（ｘ＋ＰＴ） 由已知．Ｐ一＋。。时，存在正整数Ｐ。，使量 ＞ Ｇ＋￡（Ｐ≥Ｐ。，Ｘ￡［Ｍ，Ｍ＋Ｔ］），由￡的任意性， ． ＞Ｇ 。．．Ａ一＋。。时，结论成立。 当Ａ一一ｏ。时，对任意的ｓ＞０存在Ｍ＞０，当ｘ ∈［Ｍ，Ｍ＋Ｔ）及一切自然数Ｐ，￣ｆ ｆ（ｘ＋Ｔ）－－ｆ（ｘ） ｘ十ｌ Ｊ一 ｘ＜一Ｇ，以下步骤同上，最后得 ＜一Ｇ，即 ＜一Ｇ， Ａ…时，亦成立 （证毕） ２，２定理４（詈型） 设Ｔ为正常数，若函数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）在［ａ，＋ｏ。） 上满足： １。０＜ｇ（ｘ＋Ｔ）＜ｇ（ｘ） ２。 罕 ｆ（ｘ）＝ 罕 ｇ（ｘ）一０ ３。 －．十∞ （ｇ饕 －ｘ＋Ｔ） －ｇ（ｘ）＝Ａ＇一ｎ’ ～、（一ｏ。≤Ａ≤ 儿、 ＿－。。 ４ 。。 ＝Ａ。 证明：由３ｏ及极限定义知，对任意ｓ＞０，必有正 数Ｍ＞ａ，使对一切ＸＥ［Ｍ，Ｍ＋Ｔ］及一切自然数 Ｐ，有：［ｆ（ｘ＋Ｔ）－－ｆ（ｘ） —趴ｘ十ｌ 一ｇＬｘＡＩ＜￡ ．Ａ—ｅ＜ 篆｝ ＜Ａ＋ｅ 即：ｔＡ一￡）［ｇ（ｘ）一ｇ（ｘ＋ＰＴ）］＜ｆ（ｘ）一ｆ（ｘ＋ ＰＴ）＜（Ａ＋￡）［ｇ（ｘ）一ｇ（ｘ＋ＰＴ）］ 对任意固定的ｘ＞Ｍ，在上式中令Ｐ一＋。。，由 于Ｐ 罕。。ｇ（ｘ＋ＰＴ）＝Ｐ ｆ（ｘｑ－ＰＴ）＝０，故得 （Ａ－－￣）ｇ（ｘ）≤ｆ（ｘ）≤（Ａ＋￡）ｇ（ｘ） 于是（Ａ—ｅ）≤ ≤（Ａ—ｅ）即ｌ 罄一ＡＩ＜ｅ ・・－ｎ ｏ。 ＝Ａ 当Ａ一十。ｃ时，对任意Ｇ＞Ｏ，存在Ｍ＞０，使对 一切自然数Ｐ和一切ｘ∈［Ｍ，Ｍ＋Ｔ］，有 美 ｝ ＞Ｇ，同理可得：ｆ（ｘ）一ｆ（ｘ＋ＰＴ）＞ Ｇ［ｇ（ｘ）－－ｇ（ｘ＋ＰＴ）］ ・‘ｇ（ｘ）＞ｕ，． 丽ｉｆｘ）＞Ｇ［１一 ］＋ ．ｆ（ｘ ｑ－Ｐ Ｔ． ．． ） —～ｇ（ｘ） 由ｒ、２。知，当Ｐ一十∞时，有簧 ＞Ｇ＋￡，再由 ｅ的任意性得 罄＞Ｇ， 一＋ｏ。＝Ａ。 当Ａ一一ｏｏ时，证明步骤类似，只需把“＞”变成 “＜”，Ｇ换成一Ｇ即可 （证毕） 以上给出并证明了斯托尔兹定理的两个推广定 理，下面我们研究它们的应用 ３斯托尔兹定理推广形式的应用 ３．１利用定理３可证明洛必迭法则（景型） 维普资讯 http://www.cqvip.com
１０６ 内蒙古科技与经济 ２００２年第２期 洛必达法则：设ｒ（ｘ）、ｇ（ｘ）在［ａ，＋∞）满足： 每一个有限的域ａ＜ｘ＜ｂ内是有界的，（３）存在着有 １。 辈 一 罕 ｇ（ｘ Ｊ一十。。 限的或无穷的极限 一 丛兰± 一ｋ则 ，２ ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）可微且ｇ （ｘ）≠０， ３。 ｝ 一 常数或一），则 一 证明：取ｇ（ｘ）一ｘ ，显然ｇ（ｘ）满足定理３条 鼻。。黟一ｋ 证明：只须验证ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）在［ａ，＋。。）满足定 理３条件即可。这里取Ｔ一１，由于ｇ （ｘ）≠０，由达布 定理知ｇ （ｘ）在［ａ＋十。。）恒不改变符号，叉 ｇ （Ｘ）一＋∞， ．ｇ （ｘ）７＞Ｏ。 由拉格朗日中值定理，存在０∈（０＋１），使对Ｘ∈ ［ａ，＋∞），有ｇ（ｘ＿＿１）一ｇ（ｘ）一ｇ （ｘ＋０）ｔ由ｇ （ｘ一 ０）７＞Ｏ，．‘．ｇ（ｘ一１）一ｇ（ｘ）＞０，即ｇ（ｘ＋１）＞ｇ（ｘ）； 由ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）可微易知ｆ（ｘ）、ｇｔｘ）在［ａ，＋。。） 的任意有限子区间上有界，且已知 ｇ（ｘ）一＋ 再由柯酉中值定理，存在０∈（ｏ，１），便对ｘ∈ ｃａ，一 。。 ，有量≥ 一 ．令ｘ一＋ 。。，则有 专 一ｋ＋于是 ＿ｌｊ 一 ｆ（ｘ＋１）一ｆ（ｘ） ． ｇ（ｘ＋１）一ｇ（Ｘ） “。 这样ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）满足定理３的条件，故有 一 ＝ （证毕） ３．２利用定理３可证明定理１ 证明：当ｋ为有穷数时，作函数 ｇ（ｘ）一ｙ ＋ｘ∈［ｎ，ｎ＋１３（ｎ—ｌ、２，…） ｆ（ｘ）＝Ｘ ＋ｘ∈［ｎ，ｎ＋１］（ｎ—ｌ，２，…） 取Ｔ—ｌ，则显然，１。ｇ（ｘ＋１）＞ｇ ），２。 罕。ｃ ｇ（ｘ）一＋。。，ｆ（ｘ）、ｇ Ｌｘ）在Ｃａ，一。。）的任意有限子区 间上有界 ＝ｘ－ｊＩ 一ｋ ｙ＿ｌ＿＋Ｌ—Ｙ［ｘ］ （其中Ｃｘ）是取整函数）＋ 由定理３有 ：ｆ－－ｏｏ ｇ （ｘ）一＝ 一十∞ （等 ｇ ｘ＋１）一 （ｇｘ） ……＝１，从而 有 一 一Ｙ 一 ｇ（ｎ） ｋ 当ｌ为。。时，证明步骤相同＋可知结论仍成立。 ３．３利用定理３证明．吉采奇《数学分析习题 集）＞６１０题。 证明：若（１）函数ｆ（ｘ）定义于域ｘ＞ａ内，（２）在 件且 ｌｉｍ。。 ｆ（ｘ干＋ｌ ）－－ ｆ（ ｘ）一 ｆ（ｘ＋１）－－ｆ（ｘ） （ｘ＋１）…一ｘ 一 ｌｉｒｏ ｎ—÷十。。 ｆ（ｘ＋１）－－ｆ（ｘ） １ （ｎ＋１） 十÷（ｎ＋１）ｎ 叫上－－・＋（ｎ＋１）ｘ＋１ ‘ 一 １ ｍ Ｉ苎± ！二 ！兰！ ｎ一十 １ （ｎ一１）＋告（ｎ １）ｎｘ＿。＋…＋（ｎｑ－１）ｘ一＋１＋ｘ ｋ ｎ＋１ 由定理３知 一 一 （证毕） 可见用定理３比原证法简便得多。 ３．４利用定理４可证明定理２ 证明：作函数ｇ（ｘ）一 ，ｘ∈［ｎ，ｎ＋１３ （ｎ一１， ２，－・－） 【（ｘ） ｘ Ｘ∈［ｎ，ｎ＋１３ （ｎ一１，２，…） 取Ｔ＝１，则有１。Ｏ＜ｇ（ｘ＋１）＜ｇ（ｘ） ２ ａ 。ｇ（ｘ）＝ 。ｆ（ｘ）一ｏ ３。 ｉｆ （ｘ＋而１） －ｆ（ｘ）一 一 二 一ｋ，由定理３得： ｙ（Ｉ］一Ｙ［ ）十１ ’卜＇千。。 （ｆ（ｘ ｘ）ｇ））＿一ｌ 一１ｉ ｒａ（＿。。。。ｇ器 （ｘ）一ｇ棘＋１） “一ｋ 从而 一 一 一 （一。。≤１≤＋。。） （证毕） ［参考文献］ ［１］ｒ・Ｍ菲赫金哥尔蕊．微积分学教程（中译 本＋１９５９年第二版，第一卷第一分册，Ｐ５９） ［２］ｔ３・１Ｉ・吉米奇．数学舟析习题集（第一 集）．人民教育出版社，Ｐ３５０ ［３： 陈传璋等．数学舟析．高等教学出版社，Ｐ２７ —４８ 收稿日期：２００１年ｌ０月２４日
