色散混合显隐式时域有限差分法的石墨烯仿真

2019 年 4 月

电波科学学报

Vol. 34，N〇.2

April,2019

CHINESE JOURNAL OF RADIO SCIENCE

徐健勋，傅伟杰.色散混合显隐式时域有限差分法的石墨烯仿真[J].电波科学学报，2019,34(2):239-243. DOI: 10.13443/j.cj〇rs.2018062901

XU J X, FU W J. Graphene simulation by using dispersive hybrid implicit-explicit finite-difference time-domain method[J], Chinese journal of radio science,2019,34(2) ：239-243. (in Chinese). DOI： 10. 13443/j. cjors. 2018062901

色散混合显隐式时域有限差分法的石墨烯仿真

徐健勋傅伟杰

(合肥工业大学，合肥230009)

摘

要

应用色散混合显隐式时域有限差分（hybrid implicit-explicit finite-difference time-domain，

HIE-FDTD)法分析了石墨晞的电磁特性.这种方法的时间步长大小不受石墨晞层的剖分网格大小的，

数值算例表明，HIE-FDTD方法是一种精度较高的有效算法，它的计算时间比FDTD方案大大减少.数值计 算结果显示，设计的石墨晞吸收体通过改变石墨晞片的化学势，可以有效地调整吸收体的吸收峰.同时发现， 在太赫兹频率下石墨晞吸收体的吸收率显示出一定的周期性并呈现栅形特性，这一特性可以对石墨晞器件 的设计生产提供一些思路.

关键词色散混合显隐式；时域有限差分方法；石墨烯；电磁特性；石墨烯吸收体

DOI

中图分类号 0441.4 文献标志码 A 文章编号 1005-0388(2019)02-0239-05

10. 13443/j. cjors. 2018062901

Graphene simulation by using dispersive hybrid implicit-explicit

finite-difference time-domain method

(Hefei University of Technology , Hefei 230009, China)

XU Jianxun FU Weijie

Abstract

This paper applies the dispersive hybrid implicit-explicit finite-difference time-domain meth­

od (HIE-FDTD) to analyze the electromagnetic properties of graphene. The time step size of this method is not limited by the mesh size of the graphene layer. Numerical examples show that the HIE-FDTD meth­od is an efficient algorithm with high precision, and its calculation time is greatly reduced compared to the FDTD scheme. The numerical calculation result shows that the designed graphene absorber can effectively adjust the absorption peak of the absorber by changing the chemical potential of the graphene sheet with u- sing the HIE-FDTD method. The absorption rate of graphene absorber at terahertz frequency shows a cer­tain periodicity and exhibits grid-like characteristics? and this feature can provide some ideas for the design and production of graphene devices.

Keywords

引言

dispersive hybrid implicit-explicit； finite-difference time-domain method； graphene； elec­

tromagnetic properties； graphene absorber

成熟.人们对于FDTD方法的研究主要集中在探索 新的处理方法，如交替方向隐格式时域有限差分

(alternating-direction implicit FDTD，ADI-FDTD )

进入21世纪以来，时域有限差分（finite-

difference time-domain， FDTD) 法己 经发展得非常

收稿日期：2018-06-29

资助项目：国家自然科学基金（No. 41676167) 联系人：徐健勋

法及 Crank - Nicolson 时域有限差分（Crank - Nicolson

E-mail: 771720365@qq.com

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第34卷

FDTD，CN-FDTD)法等，以便更快得到更加精确的 结果.FDTD法在实际应用的时候，存在Courant- Friedrich-Levy (CFL)稳定性条件的[1]，针对不 同问题随着网格剖分越来越精细，导致时间步长大 幅度减小，从而导致计算时间大幅度提高.随着新型 材料的不断应用，迫切需要更精确、更高效率的新型 时域方法来分析新型材料的电磁特性，以满足工程 式中:j 是角频率;T为开尔文温度0为

普朗克常量K为电子电荷;KB为玻耳兹曼常数;^

1. 1 ADE

为化学势;r为散射率.

常用传导电流密度J来表示石墨烯的导电率4 为石墨烯的厚度，两者之间关系为

J = aE/K

(2)

上的分析需求.

为了克服FDTD法时间步长的Coumnt， 一种三维混合显隐式有限差分时域方法（hybrid implicit-explicit FDTD，HIE-FDTD)被提出[2].在 这种方法中，CFL条件并没有完全消除，与传统的 FDTD方法相比是较弱的稳定条件.在HIE-FDTD 方法的求解中，只需要一次迭代(具有两个三对角矩 阵和四次显式更新），与FDTD方法的运行结果相 比，HIE-FDTD方法的计算时间大大缩短[3].

石墨燦是一^种单一^方向上具有精细结构的材 料.由于石墨烯的卓越性能，已经在太赫兹(THz)领 域引起了全世界研究人员的兴趣[4_5].石墨烯具有线 性色散的电磁特性，相比于半导体有更高电子迁移 率，而且电导率具有可调特性[6].结合石墨烯的特 性，本文应用Juan和Wang提出的一种色散HIE- FDTD，引入新的辅助变量即电流密度，使得算法复 杂度更低，在这种方法中，时间步长的大小不受石墨 烯层中剖分网格大小的，所以它的计算时间比 FDTD方案的计算时间少得多.

1

HIE-FDTD的基本原理

石墨烯在太赫兹频段的等效模型可以用其表面

电阻率来表示，即久保公式（Kubo formulation)，在 传统的FDTD中的仿真模型采用辅助差分方程 (auxiliary differential equation, ADE)技术[7_9].在 麦克斯韦方程中，通过引入辅助可变电流来模拟石 墨烯的作用，形成具有损耗介质的麦克斯韦方程，通 过求解该方程而获得电磁波通过石墨烯的传播特 性.

假设石墨烯为一个薄导电表面，其表面电导率 可以表示为

aico)]e2KBT ttIi2 Cco 一 j2r*)

(x^T + 21n(exp(_K^T)+1))* (1)

将C7的表达式代入到式(2)中可以得到 J = (ME//i)/[l+W(2D].

(3)式中，

e2KB

2厂丌112fe

+ 21n(eXP(—KbT

(4)

式(3)、（4)的时域形式如下:

dj_ = 2FME dt h *

(5)

采用中心二阶有限差分来近似式（5)中的导数 算子^形式，有

= SJ- + S2Em +S2E\\

(6)式中

—=1T+rKt — rAt ;S2

c

rMAt

h • (1+TAO

是时间

取样;以是时间步长.等式(6)表示石墨烯的分散特 性，它是ADE模型，可以很方便地应用到 HIE-FDTD方法中.

1.2 HIE-FDTD方法的公式

通过将电流密度J纳入麦克斯韦方程并结合

HIE差分公式[1()11]，可以推导出色散三维 HIE-FDTD方法的迭代公式如下：

V XE—一 )c〇j^〇 H；

(7)V XH=]cue〇E + J.(8)

1 =Hn AtdE^1 AtdE^1

y JU〇 dz jU〇 dx ’(9)H^1鱼 dCEl+E^1) _At dEf1

z 2ju〇 dy dx ;

(10)

Hn _AL 9(Eny+E；+1) At dE：X 2\"〇 dz jUo dy

(

2e11)

〇 — AtS2 —

2△乙

3 Hnz ,2e〇 + MS2 y~ 2e〇+ AtS2 ~d^ 十

dH：

AK1 + SQ

2e〇 + AtS2 dz

2e〇 + AtS2 y ?

第2期徐健勋，等：色散混合显隐式时域有限差分法的石墨晞仿真241

MS 2 M2 d2 \\ +1

2e〇 4：e0ju0 dy2 ) z

At2 d2Efl

2e〇jU〇 dzdy

A^9

2e〇

At2 d2K+1

4e〇\"〇 Sy21 —

A^2

2e〇At2 d2APn f/n 3 V2e〇 3x

At SHI

e〇 dy

(13)

)E： +At dH：At dH；(14)

At2 d2Efl

2e〇jU〇 dxdy

式中，公式(9)〜（14)为算法更新后的公式.

£(1+說.

计算域的其他部分，选择均匀的网格尺寸:Ai = A：y =Az = 5

•为了满足CFL稳定性条件，在FDTD

方案中的时间步长为

At < —, .c Va/Ax)2 + (1/A^)2 + (1/A^)2=8. 33 X 10—7 ps.

相比之下，在色散HIE-FDTD方法中，时间步长仅 取决于单元尺寸Ai和Az:

At < — 1c a/(1/Aj:)2 + (l/A^：)2=1. 18 X 10—3 ps.

该结果是FDTD方案的1 417倍[1415].

由图2可以看出，色散HIE-FDTD方法的结果 与FDTD非常吻合.以上模拟在Intel Core丨7_67〇0 CPU@4 GHz and 32 G memory的计算机上完成， 色散HIE-FDTD方法和FDTD方法的计算时间分 别为 5.153 s 和 12 077.253 s，色散 HIE-FDTD 方 法显然减少了计算时间.因此，可以验证我们所提出 的方法在不牺牲精度的前提下，具有更高的效率.

2 算例分析

2.1

仿真无限大石墨烯薄层算例

为了证明所应用的色散HIE-FDTD方案计算

精度和效率，本文用这种方法来模拟无限大的石墨 烯片.如图1所示，石墨烯片位于平面内，它在：y 方向的厚度为&电场是沿着：V方向极化的均匀平面 波垂直入射在石墨烯片上.平面波的激励是一个高 斯脉冲，其表达式为

git) = exp(— (4tt(^ — t〇)2)/z2). THz，所以选取最小波长为75 ym.

(15)

式中，(〇 = r=5X 10-13 s.其频率范围为0〜4

图1 石墨烯片结构图

Fig. 1 The structure of graphene

通过使用总场散射场（TF/SF)边界条件将平 面波引入计算域.沿:V方向的上下边界处设置1〇个 元胞卷积完全匹配层（convolutional perfectly matched layer，CPML)以截断散射场[12]，在和之 方向添加周期边界条件，在石墨烯层中用粗细网格 技术进行计算.石墨烯片的参数[13]如下：T = 300 K，\"c = 〇• 1 eV，厂=1/2 • r，r = 1 ps，/i = 1 nm•石 墨烯片的内部剖分尺寸选择A：y为0. 25 nm.另外， 为了减少由数值色散引起的误差，空间网格必须小 于最小波长的1/10,本文选取最小波长的1/15,在

图2 HIE-FDTD法与FDTD法结果对比

Fig. 2 Result comparison between HIE-FDTD and FDTD

2.2

仿真石墨烯吸收体算例

一般来说，石墨烯的电导率动态变化可以通过

改变石墨烯片的化学势来调整[16].由此，我们设计 了一个石墨烯吸收体.图3为石墨烯器件的结构，石 墨烯吸收体由PEC层、介质层（^ = 12. 9)和石墨烯 层构成.

242电波科学学报

第34卷

ADE技术已经应用于求解麦克斯韦方程组.可以看

石墨烯

出，色散HIE-RDTD方法非常适用于分析具有单向

4^

X

介质

~^Z

精细结构的石墨烯电磁特性.

数值计算结果表明，设计的石墨烯吸收体的吸 收系数可以通过改变化学势来调节，而且当化学势 不断增大的时候，吸收峰不断向高频方向移动，且吸 收率具有一定的周期性，呈现出栅形特性，这一结果 显示了石墨烯的可调制特性，这个特性在太赫兹波 图3石墨烯吸收体的结构

Fig. 3 The structure of graphene devices

图4显示了化学势&分别取值0.1 eV、0.3 eV、0. 5 eV情况下对吸收率（absorptivity)、反射率(reflectivity)的影响.我们定义反射率Er

E-m收率A=l —i?2,其中心为输入电场值，

为反射

波电场值.结果表明，随着^值的增加，吸收率不断 提尚，并向尚频方向移动，且吸收率具有一定的周期 性，呈现出栅形特性.图5显示，当^ = 0.3 eV时， 在 1. 409〜1. 625 THz、2. 543〜2. 837 THz 范围吸 收率在80%以上，这个数据表明设计的石墨烯吸收 体在特定频段内具有良好的吸收性能.

D 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 /THz

1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25

频率>r

丨

— /!〇=0• 1

/i

〇=〇-3一 /|〇=0.5

,Vf , , ,

0.25 0.50 0.75 ：

1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.2

频率/THz

图4化学势对吸收率和反射率的影响

,4 Effects of chemical potential on absorptivity

and reflectivity

0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 /THz

1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25

频率图5吸收效果

Fig. 5 Absorption effect

3结论

本文应用一种色散HIE-FDTD法成功分析了

石墨烯器件的电磁特性，其中单层石墨烯的模型和

段可调石墨烯器件设计、可穿戴电子设备设计中有 一定应用价值.此外，上述方法也可以用于分析诸如 吸收器、频率选择器等基于石墨烯的器件上.参考文献

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566.作者简介+ ’ ' 徐健勋 （1992—），男，吉林人，合肥工业大学硕士研究生，研究

方向为计算电磁学及其应用.

傅伟杰 （1992—），男，福建 人，合肥工业大学硕士研究生，研究 方向为计算电磁学及其应用.