广东省中山市第一中学等七校2015届高三第一次联考数学(理)试题 Word版含解析

2015届 宝安中学，潮阳一中，桂城中学， 南海中学，普宁二中，中山一中，仲元中学 高三摸底考

理科数学 2014.8

命题人：普宁二中 陈左华 潮阳一中 黄绵凤

【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，体现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，这套试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能.试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

【题文】1设集合A={x|x23x20}，则满足A

B={0，1，2}的集合B的个数是( )

A 1 B 3 C 4 D 6

【知识点】并集及其运算 A1

2

【答案解析】C解析：解：A={x|x﹣3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，若A∪B={0，1，2}，则0∈B，则B={0}，{0，2}，{1，0}，{0，1，2}，共4个，故选：C 【思路点拨】先求出集合A元素，根据集合关系和运算即可得到结论

【题文】2. i为虚数单位，复平面内表示复数z=(1+i)(2+i)的点在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义L4 【答案解析】A解析：解：复数z=（1+i）（2+i）=2+3i﹣1=1+3i，复数对应点为（1，3）．在第一象限．故选A

【思路点拨】化简复数为a+bi的形式，然后求出复数的对应点所在象限即可

22【题文】3．“a1”是“函数ycosaxsinax的最小正周期为”的（ ）

A．必要不充分条件 B． 充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【知识点】三角函数的周期性及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判断A2,C3 【答案解析】A解析：解：解：函数y=cosax﹣sinax=cos2ax，它的周期是

2

22

2

，a=±1

显然“a=1”可得“函数y=cosax﹣sinax的最小正周期为π”后者推不出前者，故选A．

22

【思路点拨】化简y=cosax﹣sinax，利用最小正周期为π，求出a，即可判断选项． 【题文】4.右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）

A．11 B．11.5 C．12 D．12.5

【知识点】众数、中位数、平均数K8

【答案解析】C解析：解：由题意，[5，10]的样本有5³0.06³100=30，[10，15]的样本有5³0.1³100=50，由于[10，15]的组中值为12.5，所以由图可估计样本重量的中位数12． 故选：C

【思路点拨】由题意，[5，10]的样本有5³0.06³100=30，[10，15]的样本有5³0.1³100=50，结合[10，15]的组中值，即可得出结论．

【题文】5.执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）

A．5

B．7 C．9

D．11

【知识点】程序框图L1

【答案解析】C解析：解：由程序框图知：第一次运行S=1+2=3，k=1+2=3； 第二次运行S=1+2+6=9．k=3+2=5； 第三次运行S=1+2+6+10=19，k=5+2=7； 第四次运行S=1+2+6+10+14=33，k=7+2=9；

此时不满足条件S＜20，程序运行终止，输出k=9． 故选：C．

【思路点拨】根据框图的流程依次计算运行的结果，直到不满足条件S＜20，计算输出k的值

【题文】6、由曲线yx,yx围成的封闭图形的面积为（ ）

A．

237111 B． C． D． 124312

【知识点】定积分在求面积中的应用B13

【答案解析】D解析：解：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]

所求封闭图形的面积为∫0（x﹣x）dx═

1

2

3

，

故选D

231

【思路点拨】要求曲线y=x，y=x围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫0

23

（x﹣x）dx即可

xy2【题文】7． 已知O是坐标原点，点A1,0，若Mx,y为平面区域x1

y2上的一个动点，则 OAOM的取值范围是（ ）

A 12 D0，5 ，5 B 2，5 C1，【知识点】简单线性规划E5 【答案解析】A解析：解：则|设z=|

++|=|=

+

=（﹣1，0）+（x，y）=（x﹣1，y）， ， ，

则z的几何意义为M到定点D（1，0）的距离， 由约束条件作平面区域如图，

由图象可知当M位于A（0，2）时，z取得最大值z=当M位于C（1，1）时，z取得最小值z=1， 1≤z≤， 即|

+

|的取值范围是[1，

]，

，

故选：A

【思路点拨】由题意作出可行域，由向量的坐标加法运算求得+的坐标，把||转化为可行域内的点M（x，y）到定点N（1，0）的距离，数形结合可得答案． 【题文】8．对于集合A，如果定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足下列4个条件：

（ⅰ）a,bA，都有abA；

（ⅱ）eA，使得对aA，都有eaaea； （ⅲ）aA，aA，使得aaaae； （ⅳ）a,b,cA，都有abcabc，

则称集合A对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”：

①A整数，运算“”为普通加法；②A复数，运算“”为普通减法； ③A正实数，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有( ) A①② B①③ C②③ D①②③ 【知识点】元素与集合关系的判断A1

【答案解析】B解析：解：①A={整数}，运算“⊕”为普通加法，根据加法运算可知满足4个条件，其中e=0，a、a′互为相反数；

②A={复数}，运算“⊕”为普通减法，不满足4个条件； ③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法，根据乘法运算可知满足4个条件，其中e=1，a、a′互为倒数． 故选：B

【思路点拨】根据新定义，对所给集合进行判断，即可得出结论

二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)

【题文】9. 若f(x)22xxlga是奇函数，则实数a=_________。

【知识点】函数奇偶性的性质B4 【答案解析】

解析：解：函数f（x）=2+2lga是奇函数

x

﹣x

∴f（x）+f（﹣x）=0， x﹣x﹣xxx﹣xx﹣x

∴2+2lga+2+2lga=0，即2+2+lga（2+2）=0 ∴lga=﹣1∴a=

故答案为：

．

【思路点拨】由题设条件可知，可由函数是奇函数，建立方程f（x）+f（﹣x）=0，由此方程求出a的值

B，C的对边分别为a，b，c，且abc，3a2bsinA．【题文】10.在△ABC中，角A，

则角B的大小为 ； 【知识点】正弦定理C8

【答案解析】60°解析：解：解：由因为0＜A＜π，所以sinA≠0， 所以sinB=

，

1a=2bsinA，得sinA=2sinBsinA， 12因为0＜B＜π，且a＜b＜c，所以B=60°． 故答案为：60°． 【思路点拨】由

a=2bsinA，利用正弦定理得

sinA=2sinBsinA，从而可得sinB=

，结

合0＜B＜π，且a＜b＜c，可求B．

【题文】11．已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示. 若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为__________． 【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积G7

【答案解析】解析：解：解：由四棱锥的俯视图可知，该四棱锥底面为ABCD为正方形，PO垂直于BC于点O，其中O为BC的中点， 若该四棱锥的左视图为直角三角形，

则△BPC为直角三角形，且为等腰直角三角形， ∵B0=1， ∴PO=BO=1， 则它的体积为故答案为：．

【思路点拨】根据四棱锥的俯视图得到四棱锥的特征，根据四棱锥的左视图为直角三角形，得到四棱锥的高即可求出它的体积

12.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．【题文】一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有 种。 【知识点】计数原理的应用J1

【答案解析】180解析：解：解：甲、乙都不选时，有有

=120种，

=60种；甲、乙两个专业选1个时，

．

根据分类计数原理，可得共有60+120=180种不同的填报专业志愿的方法．

故答案为：180．

【思路点拨】分类讨论，分别求出甲、乙都不选、甲、乙两个专业选1个时的报名方法，根据分类计数原理，可得结论．

【题文】13．若实数a、b、c成等差数列，点P(–1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N(0, 3)，则线段MN长度的最小值是

【知识点】等差数列的性质；点到直线的距离公式D2,H2

【答案解析】4﹣解析：解：因为a，b，c成等差数列，故有2b=a+c，即a﹣2b+c=0，对比方程ax+by+c=0可知，动直线恒过定点Q（1，﹣2）．

由于点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，即∠PMQ=90°，所以点M在以PQ为直径的圆上，该圆的圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为

=

，

再由点N到圆心C的距离为 NC=4，所以线段MN的最小值为 NC﹣r=4﹣， 故答案为 4﹣．

【思路点拨】由题意可得动直线l：ax+by+c=0过定点Q（1，﹣2），PMQ=90°，点M在以PQ为直径的圆上，求出圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为 ．求得点N到圆心C的距离，再减去半径，即得所求

（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

【题文】14、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线cos1与cos1的公共点到极点的距离为__________

【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式N3, 【答案解析】﹣1）=1， 解得ρ=

或ρ=

（舍），

，

解析：解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ

所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为故答案为：

．

【思路点拨】联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案

【题文】15、如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于

C，D两点，AB切⊙O 于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP²NP= ． 【知识点】与圆有关的比例线段N1 【答案解析】

解析：解：∵AB为⊙O的切线，ACD为⊙O的割

2

A MC D N P O B

线由切割线定理可得：AB=AC•AD由AC=4，AB=6，故AD=9故CD=5又∵N是弦CD的中点故PC=PD= 由相交弦定理得MP•NP=PC•PD=

故答案为：

【思路点拨】由已知中，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，我们由切割线定理，结合已知中AC=4，AB=6，我们易求出AD的长，进而求出弦CD的长，又由弦MN过CD的中点P，由相交弦定理我们易求出MP•NP

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【题文】16．（本题满分12分）

1 已知函数f(x)2sin(x)（xR,0）的图象过点M(,3).

322（1）求的值；

（2）设,[0,2]，f(3)1056,f(3),求sin()的值. 1325【知识点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换C4,C5 【答案解析】(I) 6(II)

sin()sincoscossin解析：解：（1）依题意得2sin(∵01245333 135135653)3，sin()，„„„„2分 6622„„„„„4分 32 ∴

66

∴63，∴6„„„„„„„„„5分

105, ∴cos，„„„7分

21313563)2sin()2sin, ∴sin，„„„9分 又∵f(3255（2）∵f(3)2sin()2cos∵,[0,2]，„„„„„„„

2∴sin1cos分

1()2513123242，cos1sin1()，„„101355∴sin()sincoscossin

【思路点拨】（1）依题意求得sin（（2）由条件求得cosα=

1245333„„„„„12分 13513565，结合0＜φ＜

求得φ的值．

+φ）=

，sinβ=．根据α，β∈[0，]，利用同角三角函数的基本

关系求得inα 和cosβ 的值，从而求得 sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ 的值． 【题文】17. (本小题满分12分)2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）。

【知识点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列K6 【答案解析】(I)35(II)14(III)



0 1 2

P 3 103 51 10314E()12„

5105解析：解：（1）乙厂生产的产品总数为5（2）样品中优等品的频率为

1435；„„„„.2分 9822，乙厂生产的优等品的数量为3514；„„„„4分 55（3）0,1,2， „„„„„„„„..5分

i2iC2C3(i0,1,2)，„„„„.8分 P(i)2C5的分布列为

 P 0 1 2 3 103 51 10 „„„„„„.11分 均值E()13142„„„„„„„.12分 5105【思路点拨】（1）利用分层抽样方法能求出乙厂生产的产品总数．

（2）样品中优等品的频率为，由分层抽样方法能求出乙厂生产的优等品的数量． （3）由题意知ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出抽取的2件产品中优等品数

ξ的分布列及其均值．

【题文】18. （本小题满分14分）

如图6，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB1，BC2，

ABC600，E为BC的中点，AA1平面ABCD．

⑴证明：平面A1AE平面A1DE； ⑵若DEA1E，试求异面直线AE与A1D 所成角的余弦值．

B1A1C1AD1【知识点】平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角G5,G11 【答案解析】(I)略(II)

DAE2EF2AF26cosAEF2AEEF6

BEC图解析：解：⑴依题意，BEEC1BCABCD„„1分，所以ABE是正三角形，21(18001200)300„„3分， 2AEB600„„2分，又CED

0所以AED90，DEAE„„4分，因为AA1平面ABCD，DE平面ABCD，

所以AA1DE„„5分，因为AA1AEA，所以DE平面A1AE„„6分， 因为DE平面A1DE，所以平面A1AE平面A1DE„„7分．

⑵取BB1的中点F，连接EF、AF„„8分，连接B1C，则EF//B1C//A1D„„9分，所以AEF是异面直线AE与A1D所成的角„„10分。 因为DE3，A1EA1A2AE2，所以A1A2„„11分，

BF162，AFEF„„12分， 1222AE2EF2AF26所以cosAEF„„14分（列式计算各1分）． 2AEEF6【思路点拨】（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得

到平面A1AE⊥平面平面A1DE．

（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值． 【题文】19 .（本小题满分14分）

2已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且anan2Sn.

（1）求a1

(2) 求数列{an}的通项； (3) 若bn5,，求证：＜ （nN)Tbb........bTn12nn23an1【知识点】数列的求和D4

【答案解析】(I) a10a11(II) an11(n1)n(III)

5Tnb1b2........bn＜

32解析：解：（1）令n1，得a1a12S12a1，a10a11 „„„2分

2(2)又anan2Sn„„„①

2有an1an12Sn1„„„„ ②„„„„„„„„3分

②-①得an1Sn1Sn„„„„„„„4分

(an1an)(an1an1)0

an0an1an0

∴an1an1 „„„„„„„„6分 ∴an11(n1)n „„„„„„„„„„8分

5(3)n=1时b1=1＜符合„„„„„„„„„9分

3

n2时，因为12n所以

1n2141,„„„„„„„„„„11分 122n12n14n2141112511121„„„„.13分 22n12n13335k1k∴Tnb1b2........bn＜

2

n5„„„„„„„„„„14分 3【思路点拨】1）an+an=2Sn中令n=1求a1

22

（2）又an+an=2Sn有an+1+an+1=2Sn+1，两式相减得并整理得（an+1+an）（an+1﹣an﹣1）=0，数列{an}是以a1=1，公差为1的等差数列，以此求数列{an}的通项； （3）由（2）得出an=n，利用放缩法求证：Tn＜． 【题文】20. （本小题满分14分）

已知圆C与两圆x2(y4)21，x2(y2)21外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n. (Ⅰ)求圆C的圆心轨迹L的方程；

（Ⅱ）求满足条件mn的点M的轨迹Q的方程；

（Ⅲ）试探究轨迹Q上是否存在点B(x1,y1)，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于

1。若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由。 22【知识点】直线和圆的方程的应用；圆与圆的位置关系及其判定H4 【答案解析】(I) y1(II) x4y (III) (2,1)或(2,1)

解析：解：（Ⅰ）两圆半径都为1，两圆心分别为C1(0,4)、C2(0,2)，由题意得CC1CC2，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0,1)，直线C1C2的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线方程为y1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y1。(4分)

（Ⅱ）因为mn，所以M(x,y)到直线y1的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，所以，轨迹Q的方程是x4y (8分) （Ⅲ）由（Ⅱ）得y为yy12p1，即p2，21211x， yx，所以过点B的切线的斜率为kx1，切线方程422112yx1(xx1)，令x0得yx12y1，令y0得x1x1， 22x112x1 42因为点B在x4y上，所以y1

故y121x1，xx1 42所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S111113|x||y|x12x1x1 224216设S1131x1得x12，所以x12 ，即

2162当x12时，y11，当x12时，y1，

所以点B的坐标为(2,1)或(2,1). (14分)

【思路点拨】（Ⅰ）确定两圆心分别为C1（0，﹣4）、C2（0，2），由题意得CC1=CC2，从而可

求圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线方程；

（Ⅱ）因为m=n，所以M（x，y）到直线y=﹣1的距离与到点F（0，1）的距离相等，故点M的轨迹Q是以y=﹣1为准线，点F（0，1）为焦点，顶点在原点的抛物线，从而可得轨迹Q的方程；

（Ⅲ）设出切线方程，求出切线与两坐标轴围成的三角形的面积，利用S=，即可求得结论 【题文】21． （本小题满分14分）

已知函数f(x)kexx2(其中kR,e是自然对数的底数）（1）若k2,判断函数f(x)在区间（0，）上的单调性。（3）在（2）的条件下，试证明:0f(x1)1【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用B3,B11

【答案解析】(I) 函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数(II)解析：

x2x

解：（Ⅰ）若k=﹣2，f（x）=﹣2e﹣x，则f'（x）=﹣2e﹣2x，

x

当x∈（0，+∞）时，f′（x）=﹣2e﹣2x＜0，

故函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．

x

（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f′（x）=ke﹣2x=0的两个根， 即方程

有两个根，设

，则

，

（2）若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1x2),求k的取值范围。

当x＜0时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＜0； 当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0； 当x＞1时，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减且φ（x）＞0． 要使

有两个根，只需

．

，

故实数k的取值范围是

（Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函数f（x）的两个极值点x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，

由所以

，得，

，

由于x1∈（0，1），故

，

所以0＜f（x1）＜1． 【思路点拨】（Ⅰ）求f（x）的导数f′（x），利用f′（x）判定f（x）的单调性，从而求出f（x）的单调区间；

（Ⅱ）先求导数f′（x），由题意知x1、x2是方程f′（x）=0的两个根，令利用导数得到函数φ（x）的单调区间，继而得到k的取值范围； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，f′（x1）=0，则得即可得到0＜f（x1）＜1．

，又由f（x1）=﹣（x1﹣1）+1，x1∈（0，1），

2

，