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24.1.1 圆及垂径定理
◆回顾探索
1．圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到______的距离等于______•的点组成的图形，圆心确定______，半径确定______．
2．垂直于弦（不是直径）的直径_______，并且________． ◆课堂测控
测试点一 圆及相关概念
1．点P到⊙O的最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则⊙O的半径是（ ） A．2.5cm或6.5cm B．2.5cm C．6.5cm D．13cm或5cm
2．如图所示，______是直径，_______是弦，以E为端点的劣弧有______，以A为端点的优弧有_______．
3．（原创题）如图所示，一个半径为3cm，弧长为cm的扇形，
让弧AB在水平面上滚动，探究圆心O运动的路径特征及运动的距离．
测试点二 垂径定理
4．如图所示，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若AB=25cm，OC=1cm，则⊙O的半径长为______cm．
5．（易错题）在直径为50cm的圆中，弦AB为40cm，弦CD为48cm，
且AB∥CD，求AB•与CD之间距离． 解：如图所示，过O作OM⊥AB， ∵AB∥CD，∴ON⊥CD．
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在Rt△BMO中，BO=25cm． 由垂径定理得BM=
11AB=×40=20cm， 22 ∴OM=OB2BM2252202=15cm． 同理可求ON=OC2CN2252242=7cm， 所以MN=OM-ON=15-7=8cm．
以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上． ◆课后测控
1．下列说法正确的有_______．（填序号）
①直径是弦;②弦是直径;③半圆是弧，但弧不一定是半圆; ④长度相等的两条弧是半圆
2．工程上常用来测量零件上小孔的直径，假设的直径是12mm，测得顶端离零件表面的距离为9mm，如图所示，则小孔的直径AB为______．
3．一个已知O点到圆周上的点的最大距离为5cm，最小距离为1cm，•则此圆的半径为
________．
4．如图所示⊙O的半径为5，弦AB长为8，点M在线段AB（包括端点A、B）上移动，则OM的取值范围是（ ） A．3≤OM≤5 B．3≤OM<5 C．4≤OM≤5 D．4≤OM<5
5．如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=•8，•则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
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6．如图所示，D、E分别是弧AB、AC的中点，DE交AB于M、交AC于N.求证AM=AN．
7．（教材变式题）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，AB、CD相交于点E，∠COD=100°，求∠COE，∠D的度数．
◆拓展创新
8．（应用题）如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
方法策略
垂径定理的推论：如果对一个圆和一条直线：①直线垂直于弦；②直线平分弦（不是直径）；③直线过圆心；④直线平分弦所对的优弧；⑤直线平分弦所对的劣弧，若五个条件中任何两个成立，其他三个条件也成立．
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答案: 回顾探索
1．圆心O，半径r，圆的位置，圆的大小 2．平分弦，平分弦所对的两条弧 课堂测控 1．A
,EB,EF, 2．AB，AB、CD、EF，AE,ECABF,ABD,ABC,ABE.
3．解：O运动路径是一条线段，到L的距离为3cm，路程为cm． 4．6 5．有漏解，MN=OM+ON=15+7=22（cm）． 课后测控
1．①③ 2．63mm 3．3cm或2cm
4．A5．C（点拨：过O作OH⊥CD并延长，交AB于P，易得DH=5， 而AM=2，∴MP=3，MN=2MP=2×3=6）
6．证明：连结DO，EO，∵D是AB中点，E是AC中点，∴OD⊥AB，OE⊥AC， 又∵∠EDO=∠DEO，∴∠DMB=∠ENC，
而∠AMN=∠DMB，∠ENC=∠ANM，∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN． 7．解：∵AB是直径，AB⊥CD，又∵∠C=∠D，∠COE=∠DOE，
又∵∠COD=100°∴∠COE=
1×100°=50°，∠D=∠C=90°-∠COE=90°-50°=40°． 22
8．解：能通过，AB=7.2，CD=2.4，设⊙O的半径为R，
在Rt△AOD中，OD=R-2.4，AD=3.6，R=（R-2.4）2+3.62，
∴R=3.9，在Rt△OHN中，当HN=1.5，OH=ONHN3.91.5=3.6（cm）， ∴OD=3.6-1.5=•2.1（m），∵2.1m>2m，∴此货船能顺利通过．
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