高中物理(新人教版)必修第二册同步习题：机械能守恒定律(同步习题)【含答案及解析】

4 机械能守恒定律

基础过关练

题组一 机械能守恒的判断

1.(多选)载人飞船从发射至返回的过程中,以下哪些阶段返回舱的机械能是守恒的( )

A.飞船升空的阶段

B.只在地球引力作用下,返回舱沿椭圆轨道绕地球运行的阶段 C.只在地球引力作用下,返回舱飞向地球的阶段 D.临近地面时返回舱减速下降的阶段

2.(多选)竖直放置的轻弹簧下连接一个小球,用手托起小球,使弹簧处于压缩状态,如图所示。则迅速放手后(不计空气阻力)( )

A.放手瞬间小球的加速度等于重力加速度

B.小球与弹簧以及地球组成的系统机械能守恒 C.小球的机械能守恒

D.小球向下运动过程中,小球动能与弹簧弹性势能之和不断增大

3.(多选)如图所示,一轻弹簧一端固定于O点,另一端系一重物,将重物从与悬点O在同一水平面的A点(弹簧处于原长)无初速度地释放,让它自由摆下。不计空气阻力,在重物由A点摆到最低点的过程中( )

A.重物的机械能减少

B.重物与弹簧组成的系统的机械能不变 C.重物与弹簧组成的系统的机械能增加 D.重物与弹簧组成的系统的机械能减少

4.在如图所示的物理过程示意图中,甲图为一端固定有小球的轻杆,从右偏上30°释放后绕光滑支点摆动;乙图为末端固定有小球的轻质直角架,释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动;丙图为轻绳一端连着一小球,从右偏上30°处自由释

放;丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车,把用轻质细绳悬挂的小球从图示位置由静止释放,小球开始摆动。关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计),下列判断中正确的是( )

A.甲图中小球机械能守恒 B.乙图中小球A机械能守恒 C.丙图中小球机械能守恒 D.丁图中小球机械能守恒

5.(多选)如图所示,质量分别为m和2m的两个小球a和b用轻质杆相连,在杆的中点O处有一固定转动轴,把杆置于水平位置后释放,在b球顺时针摆动到最低位置的过程中( )

A.b球的重力势能减少,动能增加,b球的机械能守恒

B.a球的重力势能增加,动能也增加,a球的机械能不守恒 C.a球、b球组成的系统机械能守恒 D.a球、b球组成的系统机械能不守恒

题组二 机械能守恒定律的应用

6.一物体由h高处自由落下,以地面为参考平面,当物体的动能等于势能时,物体运动的时间为(不计空气阻力,重力加速度为g)( ) A.√

𝑔C.√ 2𝑔

ℎ2ℎ

B.√

𝑔D.以上都不对

ℎ

7.如图所示,光滑的曲面与光滑的水平面平滑相连,一轻弹簧右端固定,质量为m的小球从高为h处由静止下滑,则( )

A.小球与弹簧刚接触时,速度大小为√2𝑔ℎ B.小球与弹簧接触的过程中,小球机械能守恒 C.小球压缩弹簧至最短时,弹簧的弹性势能为mgh

21

D.小球在压缩弹簧的过程中,小球的加速度保持不变

8.从地面竖直上抛两个质量不同的小球,设它们的初动能相同,当上升到同一高度时(不计空气阻力,选地面为参考面)( ) A.所具有的重力势能相等 B.所具有的动能相等 C.所具有的机械能不相等 D.所具有的机械能相等

9.一根轻弹簧下端固定,竖立在水平面上,其正上方A位置有一只小球,小球从静止开始下落,在B位置接触弹簧的上端,在C位置小球所受弹力大小等于重力,在D位置小球速度减小到零。下列关于小球下落阶段的说法中,正确的是( )

A.在B位置,小球动能最大

B.从A→D位置过程中,小球机械能守恒

C.从A→D位置,小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量 D.从A→C位置,小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量

10.(多选)一个物体从地面以一定的初速度竖直上抛,不计空气阻力,如图所示为表示物体的动能Ek随高度h变化的图像A、物体的重力势能Ep随速度v变化的图像B(图线形状为四分之一圆弧)、物体的机械能E随高度h变化的图像C、物体的动能Ek随速度v变化的图像D(图线形状为开口向上的抛物线的一部分),其中可能正确的是( )

11.(多选)水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆形光滑轨道bc在b点相切,一质量为m的小球以初速度v0沿直轨道ab向右运动,如图所示,小球进入半圆形轨道后刚好能通过最高点c。则( )

A.R越大,v0越大

B.R越大,小球经过b点时对轨道的压力越大 C.m越大,v0越大

D.m与R同时增大,初动能Ek0增大 题组三 连接体机械能守恒问题

12.(多选)如图所示,倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B(可视为质点),两球之间用一根长为L的轻杆相连,下面的B球离斜面底端的高度为h。两球从静止开始下滑,不计球与地面碰撞时的机械能损失,且地面光滑,重力加速度为g。在球A、B开始下滑到A球进入水平地面的过程中( )

A.当A、B球均在斜面上运动时,B球受3个力作用 B.A球进入水平地面时的速度大小为√2𝑔ℎ+𝑔𝐿sin𝜃 C.全过程中A球的机械能减少了mgL sin θ

21

D.全过程中轻杆对B球不做功

13.(多选)如图所示,将物体P用长度适当的轻质细绳悬挂于天花板下方,两物体P、Q用一轻弹簧相连,物体Q在力F的作用下处于静止状态,弹簧被压缩,细绳处于伸直状态。已知该弹簧的弹性势能仅与其劲度系数和形变量有关,且弹簧始终在弹性限度内。现将力F撤去,轻绳始终未断,不计空气阻力,则( )

A.弹簧恢复原长时,物体Q的速度最大

B.撤去力F后,弹簧和物体Q组成的系统机械能守恒

C.在物体Q下落的过程中,弹簧的弹性势能先减小后增大 D.撤去力F前,细绳的拉力不可能为零

14.如图所示,固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环,圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接,弹簧的另一端连接在墙上,并且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑,已知弹簧原长为L,圆环下滑到最低点时弹簧的长度变为2L(未超出弹性限度),重力加速度为g,则在圆环下滑到最低点的过程中( )

A.圆环的机械能守恒

B.弹簧的弹性势能增加了√3mgL C.圆环下滑到最低点时,所受合力为零

D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变

能力提升练

题组一 单个物体的机械能守恒问题 1.(2020宁夏石嘴山三中月考,

)如图所示,光滑圆轨道固定在竖直面内,一质量

为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1,在最高点时对轨道的压力大小为N2。重力加速度大小为g,则N1-N2等于( )

A.3mg B.4mg C.5mg D.6mg 2.(2020贵州七校高一下联考,

)如图所示,位于竖直平面内的光滑轨道由四分之

一圆弧ab和抛物线bc组成,圆弧半径Oa水平,b点为抛物线的顶点。已知h=2 m,s=√2 m。取重力加速度大小g=10 m/s2。

(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下,当其在bc段轨道运动时,与轨道之间无相互作用力,求圆弧轨道的半径;

(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下,求环到达c点时速度的水平分量的大小。

3.(2020山东济南部分学校高一下联考,

)轻质弹簧原长为2l,将弹簧竖直放置

在地面上,在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放,当弹簧被压缩到最短时,弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道,B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切,半圆的直径BD竖直,如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5。用外力推动物块P,将弹簧压缩至长度为l,然后放开,P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。

(1)若P的质量为m,求P到达B点时速度的大小,以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离;

(2)若P能滑上圆轨道,且仍能沿圆轨道滑回,求P的质量的取值范围。深度解析

题组二 系统机械能守恒问题 4.(2020山西大同第一中学高二下月考,

)如图所示,可视为质点的小球A、B用

不可伸长的细软轻线连接,轻线跨过固定在地面上、横截面半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的两倍。当B位于地面上时,A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放,B上升的最大高度是( )

A.2R

B.

35𝑅

C.

3

4𝑅

D.

3

2𝑅

5.(2020江苏苏北四市高三一模,)(多选)如图所示,半径为R的竖直光滑圆弧轨

道与光滑水平面相切,质量均为m的小球A、B与轻杆连接,置于圆弧轨道上,A位于圆心O的正下方,B与O等高。将它们由静止释放,最终在水平面上运动。重力加速度为g。下列说法正确的是( )

A.下滑过程中重力对B做功的功率先增大后减小

B.当B滑到圆弧轨道最低点时,轨道对B的支持力大小为3mg C.下滑过程中B的机械能增加 D.整个过程中轻杆对A做的功为mgR 21

6.(2020山东淄博一中高三模拟,)(多选)如图所示,足够长的光滑斜面固定在水

平地面上,轻质弹簧与A、B物块相连,A、C物块由跨过光滑小滑轮的轻绳连接。初始时刻,C在外力作用下静止,绳中恰好无拉力,B放置在水平面上,A静止。现撤去外力,物块C沿斜面向下运动,当C运动到最低点时,B对地面的压力刚好为零。已知A、B的质量均为m,弹簧始终处于弹性限度内,则上述过程中(深度解析)

A.C的质量mC可能小于m

B.C的速度最大时,A的加速度为零

C.C的速度最大时,弹簧的弹性势能最小

D.A、B、C构成的系统的机械能先变大后变小 7.(2020山东泰安高三二模,

)如图所示,可视为质点的小球1、2由不可伸长的

轻质细绳相连,小球1悬挂在定滑轮O的下方,小球2在半径为R的半球形固定容器内,定滑轮O与容器的边缘D及球心C在同一水平线上。系统静止时,小球1在定滑轮正下方R处的A点,小球2位于B点,B、D间的细绳与水平方向的夹角θ=60°。已知小球1的质量为m,重力加速度为g,不计一切摩擦,忽略滑轮的质量。(结果用根号表示)

(1)试求小球2的质量;

(2)现将小球2置于D处由静止释放(小球1未触及地面),求小球1到达A点时的动能;

(3)在第(2)问中,小球2经过B点时,突然剪断细绳,求小球2经过容器最低点时对容器的压力。

题组三 用机械能守恒定律解决非质点问题 8.(2020河南平顶山高一下期中,

)如图所示,粗细均匀、两端开口的U形管内装

有同种液体,开始时两边液面高度差为h,管中液柱总长度为4h,后来打开阀门让液体自由流动,当两液面高度相等时,右侧液面下降的速度为(不计一切摩擦)( )

A.√gh

8141

B.√gh

612

1

C.√gh D.√gh

)如图所示,斜面体固定不动,AB为光滑的水

9.(2020重庆江津中学高一下期中,

平面,BC是倾角为α的足够长的光滑斜面,AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静置在ABC面上,其一端D至B的距离为L-a。现自由释放链条,则:

(1)链条下滑过程中,系统的机械能是否守恒?简述理由; (2)链条的D端滑到B点时,链条的速率为多大?深度解析

答案全解全析 基础过关练

1.BC 飞船升空的阶段,推力做正功,机械能增加,故A不符合题意;返回舱在椭圆轨道上绕地球运行的阶段,只受地球的引力作用,其机械能守恒,故B符合题意;返回舱在大气层外向着地球做无动力飞行阶段,只受地球的引力作用,机械能守恒,故C符合题意;降落伞张开后,返回舱减速下降的阶段,克服空气阻力做功,机械能减小,故D不符合题意。

2.BD 放手瞬间,小球受重力和弹簧向下的弹力,其加速度大于重力加速度,A错;放手后,整个系统(包括地球)的机械能守恒,小球向下运动过程中,由于小球的重力势能减小,所以小球的动能与弹簧弹性势能之和增大,B、D对,C错。

3.AB 重物自由摆下的过程中,弹簧拉力对重物做负功,重物的机械能减少,选项A正确;对重物与弹簧组成的系统而言,除重力和系统内弹力外,无其他力做功,故系统的机械能守恒,选项B正确,C、D错误。

4.A 题图甲中,轻杆对小球不做功,小球的机械能守恒,A正确;题图乙中,轻杆对A的弹力不沿杆方向,会对小球A做功,所以小球A的机械能不守恒,但两个小球组成的系统机械能守恒,B错误;题图丙中,小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失,机械能不守恒,C错误;题图丁中,小球和小车组成的系统机械能守恒,但小球的机械能不守恒,这是因为摆动过程中小球的轨迹不是圆弧,细绳会对小球做功,D错误。 5.BC b球从水平位置摆动到最低点过程中,a球上升至最高点,重力势能增加,动能也增加,故a球的机械能增加。对于a、b、轻杆组成的系统,只有重力、系统内弹力做功,则系统的机械能守恒,既然a球的机械能增加,b球的机械能一定减少,可见,杆对a球做了正功,对b球做了负功。所以本题正确选项为B、C。 6.B 设物体的动能等于势能时速度为v,根据机械能守恒定律有mv2+Ep=mgh,又有

2

12

1

mv2=Ep,解得v=√𝑔ℎ;物体做自由落体运动,有v=gt,解得运动时间t=√,B正确。

𝑔12

ℎ

7.A 小球从曲面下滑到水平面过程中,根据机械能守恒定律得mgh=mv2,解得v=√2𝑔ℎ,故小球与弹簧刚接触时,速度大小为√2𝑔ℎ,选项A正确。小球与弹簧接触的过程中,弹簧的弹力对小球做负功,则小球的机械能不守恒,选项B错误。对整个过程,根据系统的机械能守恒,可知小球压缩弹簧至最短时,弹簧的弹性势能为mgh,选项C错误。小球在压缩弹簧的过程中,弹簧弹力增大,则小球的加速度增大,选项D错误。

8.D 因两小球质量不相等,由重力势能表达式Ep=mgh可知,上升到同一高度时,它们所具有的重力势能不相等,选项A错误;上升过程中只有重力做功,故对任一小球机械能守恒,上升到同一高度时两球具有的机械能相等,而重力势能不相等,则动能不相等,选项B、C均错误,D正确。

9.D 小球从B至C过程,重力大于弹簧的弹力,合力向下,小球加速运动;从C到D过程,重力小于弹簧的弹力,合力向上,小球减速运动,故在C位置小球的动能最大,A错误。整个下落过程中,小球受到的弹簧弹力做功,所以小球的机械能不守恒,但小球和弹簧组成的系统机械能守恒,即小球的重力势能、动能和弹簧的弹性势能总和保持不变。从A→D位置,小球动能变化量为零,根据系统的机械能守恒,知小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量;从A→C位置,小球减少的重力势能一部分转化为动能,另一部分转化为弹簧的弹性势能,故小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量,D正确,B、C错误。

10.ACD 设物体的初速度为v0,物体的质量为m,由机械能守恒定律得

12

22m𝑣0=mgh+mv2,所以物体的动能Ek与高度h的关系为Ek=m𝑣0-mgh,图像A可能正

2

2

12

12

11

2确;物体的重力势能Ep与速度v的关系为Ep=m𝑣0-mv2,则Ep-v图像为开口向下的

抛物线(第一象限中的部分),图像B错误;由于物体竖直上抛运动过程中机械能守恒,所以E-h图像为一平行于h轴的直线,图像C可能正确;由Ek=mv2知,Ek-v图像

21

为一开口向上的抛物线(第一象限中的部分),所以图像D可能正确。

11.AD 小球刚好能通过半圆形轨道的最高点c,在c点,由牛顿第二定律得mg=m,

𝑅𝑣2𝑐

22得vc=√𝑔𝑅,根据机械能守恒定律有m𝑣0=mg·2R+m𝑣𝑐,解得v0=√5𝑔𝑅,可知选项A

2

2

11

2正确,C错误;初动能Ek0=m𝑣0=m·5gR=mgR,知m与R同时增大时,初动能Ek0增大,

2

2

2

115

选项D正确;小球经过b点时,根据牛顿第二定律有FN-mg=m,解得FN=6mg,故小球

𝑅

𝑣20

经过b点时对轨道的压力大小为6mg,与R无关,选项B错误。

12.BC A、B球均在斜面上时,对于A、B球整体有2mg sin θ=2ma,对于B球,设杆对B球的作用力大小为F,方向沿斜面向下,则有F+mg sin θ=ma,两式联立得F=0,所以B球只受两个力作用,A项错误;当A球进入水平地面时,对A、B球组成的系统,全过程中机械能守恒,有mg(2h+L sin θ)=·2mv2,解得

21

v=√2𝑔ℎ+𝑔𝐿sin𝜃,B项正确;因为两球在水平地面上运动的速度比B球从斜面上h高处自由滑下到达水平地面的速度√2𝑔ℎ大,B球增加的机械能ΔEB=mv2-mgh=mgL

22sin θ,正好等于A球减少的机械能,所以C项正确;由于B球的机械能增加了,根据功能关系可知,从B球接触水平地面到A球接触水平地面的过程中,轻杆对B球做正功,D错误。

13.BC 由题意可知,撤去力F后,在Q下落过程中,Q和弹簧组成的系统机械能守

恒,弹簧的弹性势能先减小后增大,Q的动能先增大后减小,当弹簧向上的弹力大小等于物体Q的重力时,Q的速度最大,故A错误,B、C正确;撤去F之前,弹簧被压缩,对P受力分析,当P的重力等于弹簧弹力时,细绳的拉力为零,故D错误。 14.B 圆环下滑过程中机械能减少,弹簧的弹性势能增加,圆环与弹簧组成的系统机械能守恒。圆环下滑到最低点时速度为零,但是加速度不为零,即所受合力不为

2

零。圆环下降的高度h=√(2𝐿)-𝐿2=√3L,所以圆环的重力势能减少了√3mgL,由机

1

1

械能守恒定律可知,弹簧的弹性势能增加了√3mgL。由以上分析知B正确,A、C、D错误。

能力提升练

1.D 设圆轨道半径为R,小球在最低点时速度为v1,在最高点时速度为v2,根据牛顿第二定律,在最低点有N1-mg=m,在最高点有N2+mg=m;从最高点到最低点,根据

𝑅12

𝑅

𝑣21

𝑣22

22

机械能守恒定律有mg·2R=m𝑣1-m𝑣2;联立以上三式可得N1-N2=6mg,选项D正确。

2

1

2.答案 (1)0.25 m (2)

2√103

m/s 解析 (1)小环在bc段轨道运动时,与轨道之间无相互作用力,即小环经b点后做平抛运动,运动轨迹与轨道bc重合,故有

s=vbt,h=gt2

21

从a滑至b过程中,根据机械能守恒定律可得

2

mgR=m𝑣𝑏

21

联立以上三式并代入数据可得R=0.25 m

(2)小环从b点由静止滑下,下滑过程中机械能守恒,设环下滑至c点时的速度大小为v,有mgh=mv2

21

环滑到c点瞬间的速度的水平分量v水平=v cos θ

式中,θ为环滑到c点瞬间的速度方向与水平方向的夹角,等于(1)问中环做平抛运动到达c点时速度方向与水平方向的夹角。

cos θ=𝑣𝑏√𝑣2𝑏+2gh 2√103

联立可得v水平= m/s

5

5

3.答案 (1)√6𝑔𝑙 2√2l (2)m≤M解析 (1)依题意,当弹簧竖直放置,长度被压缩至l时,质量为5m的物体的动能

为零,其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律,弹簧长度为l时的弹性势能为

Ep=5mgl①

设P的质量为M,到达B点时的速度大小为vB,由能量守恒定律得

2

Ep=M𝑣𝐵+μMg·4l②

21

联立①②式,取M=m并代入题给数据得 vB=√6𝑔𝑙③

若P能沿圆轨道运动到D点,其到达D点时的向心力不能小于重力,即P此时的速度大小v应满足

𝑚𝑣2𝑙

-mg≥0④

12

设P滑到D点时的速度为vD,由机械能守恒定律得

12

22m𝑣𝐵=m𝑣𝐷+mg·2l⑤

联立③⑤式得 vD=√2𝑔𝑙⑥

vD满足④式要求,故P能运动到D点,并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t,由运动学公式得

2l=gt2⑦

21

P落回到AB上的位置与B点之间的距离为 s=vDt⑧

联立⑥⑦⑧式得

s=2√2l⑨

(2)为使P能滑上圆轨道,它到达B点时的速度不能小于零。由①②式可知 5mgl>μMg·4l⑩

要使P仍能沿圆轨道滑回,P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有

12

2M𝑣𝐵≤Mgl

联立①②⑩式得

53

m≤M2

5

方法技巧

求解单个物体的机械能守恒问题的基本思路 (1)选取研究对象。

(2)根据研究对象所经历的物理过程,进行受力、做功分析,判断其机械能是否守恒。

(3)恰当选取参考平面,确定研究对象初、末状态的机械能。 (4)根据机械能守恒定律列方程求解。

4.C 设B球质量为m,A球刚落地时,两球速度大小都为v,根据机械能守恒定律,有2mgR-mgR=(2m+m)v,得v=gR,则B球继续上升的高度h==,B球上升的最大

2

3

2𝑔3

1

2

2

2

𝑣2𝑅

高度为h+R=R,选项C正确。

3

4

5.AD B球初速度为零,则重力的功率为零,到达A点时速度方向与重力方向垂直,重力的功率也为零,可知下滑过程中重力对B做功的功率先增大后减小,故A正确;A、B小球与杆组成的系统在运动过程中机械能守恒,设B到达圆弧轨道最低点时速度为v,根据机械能守恒定律得(m+m)v2=mgR,解得v=√𝑔𝑅,B在圆弧轨道最低

21

点时,根据牛顿第二定律得N-mg=m,解得N=2mg,故B错误;下滑过程中,B的重力

𝑅

𝑣2

势能减少量ΔEp=mgR,动能增加量ΔEk=mv2=mgR,所以B的机械能减少mgR,故C错

2

2

2

111

误;整个过程中,轻杆对A做的功W=mv2=mgR,故D正确。

2

2

11

6.BCD 弹簧原来的压缩量x1=;当C运动到最低点时,B对地面的压力刚好为零,

𝑘

𝑚𝑔

可知弹簧的拉力等于B的重力,则弹簧此时的伸长量为x2=;x1=x2,弹簧初、末状

𝑘

𝑚𝑔

态的弹性势能相等。由于A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒,则有mCg sin α·

2𝑚𝑔𝑘

=mg·

2𝑚𝑔𝑘

(α是斜面的倾角),解得mC sin α=m,由于sin α<1,所以mC>m,选项

A错误。C的速度最大时,加速度为零,则有绳子拉力FT=mCg sin α=mg,A的加速度为零,此时弹簧的弹力为零,弹簧的弹性势能最小,选项B、C正确;由于A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒,而弹簧先由压缩恢复原长再拉伸,所以弹性势能先减小后增加,故A、B、C构成的系统的机械能先变大后变小,选项D正确。 方法技巧

解决系统机械能守恒问题要注意的几点

(1)对多个物体组成的系统,要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找用绳或杆连接的物体间的速度关系和位移关系。

(3)根据机械能守恒定律列方程时,一般选用ΔEk=-ΔEp或ΔEA=-ΔEB的形式。 7.答案 (1)√3m (2)

4√3-326

mgR (3)

35√3-2313

mg,方向竖直向下

解析 (1)设系统静止时细绳中的拉力大小为T。小球2受到容器的支持力FB的方向沿BC。由几何关系知△DBC为正三角形,所以

∠DBC=θ

对小球1、小球2,根据共点力的平衡条件知 T=mg

T cos θ=FB cos θ T sin θ+FB sin θ=m2g

解得m2=√3m (2)设经过题中图示位置时小球1的速度为v1,小球2的速度为v2,v1沿绳竖直向上,v2沿圆弧切线斜向下。

由几何关系知,v2与DB延长线的夹角为90°-θ 由运动关系可知,v1与v2应满足 v2 sin θ=v1

由几何关系知,BD=R 根据机械能守恒定律得

22

m2gR sin θ-mgR=m𝑣1+m2𝑣2

2

2

11

2此时小球1的动能Ek=m𝑣1

2

1

2解得𝑣2=4𝑔𝑅4√3+32

,𝑣1=3𝑔𝑅4√3+3 Ek=3𝑚𝑔𝑅2×(3+4√3)=4√3-326

mgR

(3)剪断细绳后,小球2以v2为初速度,从B点沿圆弧运动到最低点,设经过最

低点的速度为v3,根据机械能守恒定律,得

1

122

m2𝑣2+m2g(R-R sin θ)=m2𝑣3 22

设小球2经过容器最低点时受到的支持力为N,根据牛顿第二定律得 N-m2g=m2

𝑅𝑣23

解得N=

35√3-2313

35√3-2313

mg

由牛顿第三定律知,小球2对容器最低点的压力大小也为

mg,方向竖直向下。

ℎ2

8.A 如图所示,当两液面高度相等时,相当于右管中高的液体移到左管中,重心下降的高度为,减少的重力势能转化为管中所有液体的动能,根据机械能守恒定律有

2

18

ℎ

mg·h=mv2,解得v=√gh,A正确。

2

2

8

111

9.答案 (1)见解析 (2)√(𝐿2-𝑎2)sin𝛼

𝐿

解析 (1)链条在下滑过程中机械能守恒,因为斜面BC和水平面AB均光滑,链条下滑时只有重力做功,符合机械能守恒的条件。

(2)设链条质量为m,可以认为始、末状态的重力势能变化是由L-a段从初位置移至图示位置引起的,如图:

𝑔

该部分重心下降的距离h=(𝑎+

𝐿-𝑎2

)sin α=

𝐿+𝑎2

sin α

该部分的质量为m'=(L-a) 𝐿

𝑚

由机械能守恒定律可得m'gh=mv2

2

1

解得v=√(𝐿2-𝑎2)sin𝛼

𝐿

𝑔

方法技巧

非质点的机械能守恒问题的处理要点

在应用机械能守恒定律处理实际问题时,经常遇到“链条”“液柱”类的物体,其在运动过程中将发生形变,其重心位置相对物体也发生变化,因此这类物体不能再视为质点处理。

物体虽然不能视为质点,但因只有重力做功,物体整体机械能守恒。一般情况下,可将物体分段处理。确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置,根据初、末状态物体重力势能的变化与动能变化的关系列式求解。