机械振动和机械波名师解读

考点解读

机械振动与机械波 内容 34.弹簧振子.简谐运动.简谐运动的振幅、周期和频率，简谐运动的位移-时间图象 35.单摆，在小振幅条件下单摆做简谐运动.单摆周期公式 36.振动中的能量转化 37.自由振动和受迫振动.受迫振动的振动频率.共振及其常见的应用 38.振动在介质中的传播——波.横波和纵波.横波的图象.波长、频率和波速的关系 39.波的叠加.波的干涉、衍射现象 40.声波.超声波及其应用 41.多普勒效应 要求 Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅰ Ⅰ 考点清单

1.简揩运动的特性

（1）远离平衡位置的过程：由于F＝-kx＝ma，x增大，F增大，a增大，a与v反向，故v减小，动能减小.

（2）靠**衡位置的过程：由F＝-kx＝ma知，位移x减小，F减小，a减小，但a与v同向，故速率v增大，动能增大.

（3）经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能一定相同，但速度、动量不一定相同，方向可相反.

[例1] 一个质点的平衡位置O点附近做机械振动.若从O点开始计时，经过3s质点第一次经过M点（如图8-25所示）；再继续运动，又经过2s它第二次经点M点；则该质点质点第三次经过M点还需的时间是（ ）

图8-25

A.8s B.4s C.14s D.

10s 3T＝4s，T＝16s.4[解析] 设图中a、b两点为质点振动过程的最大位移处，若开始计时时刻，质点从O点向右运动，O→M运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s显然

质点第三次经过M点还需要的时间t3＝T-2s＝（16-2）s＝14s，故选项C正确.

若开始计时时刻质点从O点向左运动，O→a→O→M运动过程历时3s，M→b→M运动过程历时2s显然，

TT164s，Ts.质点第三次再经过M点所需要的时间2431610t3T2s＝s-2s＝s，故选项D正确.

33综上所述，该题的正确答案是C、D [答案] C、D

2.简谱运动的对称性、多解性

（1）简谐运动的多解性：做简谐运动的质点，在运动上是一个变加速度的运动，质点运动相同的路程所需的时间不一定相同，它是一个周期性的运动，若运动的时间与周期的关系存在整数倍的关系，则质点运动的路程就不会是惟一的.若是运动时间为周期的一半，运动的路程具有惟一性，若不是具备以上条件，质点运动的路程也是多解的，这是必须要注意的.

（2）简谐运动的对称性：做简谐运动的质点，在距平衡位置等距离的两点上时，具有大小相等的速度和加速度，在O点左右相等的距离上的运动时间也是相同的.

[例2] 一弹簧振子做简谐运动，周期为T（ ）

A.若t时刻和（t+t）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则t一定等于T的整数倍

B.若t时刻和（t+t）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则t一定等于T/2的整数倍

C.若t＝T，则在t时刻和（t+t）时刻振子运动的加速度一定相等 D.若t＝T/2，则在t时刻和（t+t）时刻弹簧的长度一定相等

图8-26

[解析] 对A选项，只能说明这两个时刻振子位于同一位置，如图8-26所示，设在P点，并未说明这两个时刻振子的运动方向是否相同，t可以是振子由P向B再回到P的时间.故认为t一定等于T的整数倍是错误的；对B选项，振子两次到P位置时可以速度大小相等，方向相反，但并不能肯定等于T/2的整数倍，选项B也是错误的.在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必定相同，选项C是正确的.相隔T/2的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置可位于P和对称的P′处，在P′处弹簧处于伸长状态，在P处弹簧处于压缩状态，弹簧的长度并不相等，选项D是错误的.

[答案] C 3.振动的图象

（1）可以确定振动物体在任一时刻的位移.如图8-27，对应t1、t2时刻的位移分别为x1=+7cm，x2=-5cm.

图8-27

（2）确定振动的振幅.图中最大位移的值就是振幅，如图表示振动的振幅是10cm. （3）确定振动的周期和频率.振动图象上一个完整的正弦（余弦）图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期.

由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期，T＝0.2s，频率f15Hz. T（4）确定各质点的振动方向.例如图中的t1时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动.

（5）比较各时间质点加速度的大小和方向.例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻x2为负，则加速度a2为正，又因为∣x1∣>∣x2∣，a1>a2.

[例3] 一弹簧振子做简谐振动，周期为T，则（ ）

A.若t时刻和（t+t）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则t一定等于T的整数倍

B.若t时刻和（t+t）时刻振子运动的速度的大小相等、方向相反，则t一定等于T/2的整数倍

C.若t＝T，则在t时刻和（t+t）时刻振子运动的加速度一定相等

D.若t＝

T，则在t时刻和（t+t）时刻弹簧的长度一定相等 2

图8-28

[解析] 前面已作为例题进行分析.但此题若用图象来解决将更直观、方便.设弹簧振子的振动如图8-28所示.B、C两点的位移大小相等方向相同，但B、C两点的时间间隔t≠T，A错误；B、C两点的速度大小相等、方向相反，但t≠T/2，B错误；A、D两点间的位移大小和方向均相等，又是相邻的两点，所以A、D两点的时间间隔t＝T，A、D两点的位称大小和方向均相等，所以A、D两点的加速度一定相等，C正确；A、C两点的时间间隔t＝T/2，A点与C点位移大小相等，方向相反，在A点弹簧是伸长的,在C点弹簧是压缩的，所以在A、C两点，弹簧的形变量大小相同，而弹簧的长度不相等，D错误.

[答案] C 4.单摆的周期

公式T2π由GL中g由单摆所在空间位置决定. gMg知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不同，R22

因此应求出单摆所在处的等效重力加速度值g′代入公式，即g′不一定等于9.8m/s.

g′还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g′＝g +a，再如，

单摆若在轨道上运行的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则重力加速度的等效值g′＝0，所以周期为无穷大，即单摆将不再摆动.

当单摆有竖直向上的加速度a时，等效重力加速度为g′＝g +a；当单摆有竖直向下的加速度a(ag时，等效重力加速度 g′＝a –g 当单摆有水平加速度a时（如加速运动的车厢内），等效重力加速度g′＝

g2a2，平衡位置已经改变.

[例4] 光滑斜面倾角为θ，斜面上有一辆挂有单摆的小车，如图8-29所示，在小车下滑过程中单摆同时摆动，已知摆长为L，求单摆的振动周期.

图8-29

[解析] 单摆处于失重状态，当单摆与小车相对静止加速下滑时，悬线拉力为 F＝mg cosθ,故单摆做简谐运动时的等效加速g′=g cosθ，如图8-30所示，故振动周期T＝2L

gcos

图8-30

[评价] 摆球处于失重状态时，g′减小，T增大，若处于完全失重状态，则g′为零，故周期趋于无穷大.实际上单摆不会做简谐运动.

[例5] 一个单摆挂在运动电梯中，发现单摆的周期变为电梯静止时周期的2倍，则电梯在这段时间内可能作 运动，其加速度的大小a= .

[解析] 电梯静止时，单摆周期为T12πL/g ○1

摆长未变，而周期变化，说明电梯做加速度不为零的运动，若在这段时间内，周期稳定，则做匀变速直线运动，此时电梯中的单摆周期为

T22πL ○2 g而由题意T22T1 ○3 由式○1○2○3可解得g′＝g/4

设小球在电梯中自由下落，其加速度为g，方向竖直向下，而它对悬点的加速度为g′＝g/4，小于g.取向下为正方向，则

g′+a =g ○4

由式○4可得悬点（即电梯）的加速度a =3g/4，方向向下.所以电梯可能是匀加速下降或匀减速上升.

[答案] 匀加速下降或匀减速上升；3g/4. 5.波的特性与波的图象

（1）判断波的传播方向和质点振动方向的方法

方法一：特殊点法

当判定波形图上某点的振动方向时，可以选其相邻的波峰或波谷作为参考点，根据传播方向，判定下一时刻该质点是到达波峰，还是波谷.就可以判定振动方向.简单总结为顺着波的传播方向看，若为“上坡”的质点，振动方向向下，若为“下坡”的质点，振动方向向上.

方法二：微平移法（波形移动法） 作出经微小时间t（t（2）利用波传播的周期性，双向性解题

1波图象的周期性：相隔时间为周期整数倍的两个时刻的波形相同，从而使题目○

的解答出现多解的可能.

2波传播方向的双向性：在题目未给出传播方向时，要考虑到波可沿x轴正向或○

负向传播的两种可能性.

[例6] 简谐横波在某时刻的波形图象如图8-31所示，由此图可知（ ）

图8-31

A.若质点a向下运动，则波的从左向右传播的 B.若质点b向上运动，则波是从左向右传播的 C.若波从右向左传播，则质点c向下运动 D.若波从右向左传播，则质点d向上运动 [解析] 机械波是机械振动在介质中的传播，解答有关问题时可以抓住“质点振动”或“波形移动”，以此入手进行讨论.

用“质点振动”来分析设这列波是从左向右传播，判断质点a的振动方向，可以左侧相邻的波峰为参考，a比其振动要落后，故a点尚未到达波峰，因此a点是向上运动；判断质点b的振动方向，可以右侧相邻的波谷为参考，b比其振动要提前，故b点已从波谷返回，因此b点是向上运动，选项A、B中B是正确的.

用“波形移动”来分析，设这列波是从左向右传播，则在相邻的一小段时间内，这列波的形状向右平移一小段距离，如图8-32虚线所示.因此所有的质点从原来在实线的位置沿y轴方向运动到虚线的位置，即a质点向上运动，b质点也向上运动，由此可知选项A、B中B是正确的.类似的可以选定选项D是正确的.

图8-32

[答案] B、D

[例7] 如图8-33所示，一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点，相距14.0m，b点在a点的右方.当一列简谐横波沿此绳向右传播时，若a点的位移达到正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动，经过1.00s后，a点的位移为零，且向下运动，而b点的位移恰好达到负极大，则这列简谐横波的波速可能等于（ ）

图8-33

A.14.0m/s B.10.0m/s C.6.00m/s D.4.67m/s

[解析] 当a点位移正极大，b点在平衡位置向下运动时，则沿水平绳a、b两点间波形至少会有四分之三波长，设n为正整数，则有

n14.0 m，n＝0，1，2„„

当经过1.00s，a点在平衡位置向下运动，b点在负的最大位移处，则这段时间至少含有四分之一周期，设m为正整数，则有

TmT1.00s，m＝0，1，2„„ 因此波速是

v3414T14(4m1)m/s

4n3可见波速的确定由n、m共同决定，分析时可先令n =0，再讨论m的所有取值；然后令n =1，再讨论m的所有取值；如此下去.例如令n ＝0，设波速v =14(4m+1)/3 m/s，当m＝0时，波速

14m/s，即4.67m/s；当m=1时，波速为23.3m/s,超出选项范围，不3再讨论.再令n=1，当m=1时，波速为10.00m/s等等.

[答案] B、C

[评价] 波在传播过程中，空间的周期性体现在波形的重复性，可以从波长着手来描述.时间的周期性体现在振动的重复性，可以从周期着手来描述，解答时要善于抓住实质，熟悉描述周期性的方法，提高分析和解决问题的能力.

[例8] 一列简谐波沿x轴方向传播，已知x轴上x1＝0和x2＝1m两处质点的振动图象分别如图8-34中甲、乙所示，求此波的传播速度.

图8-34

[解析] 由所给出的振动的图象知周期T＝4×10-3s.由图象可知t＝0时刻，x＝0时质点P在正最大位移处，x＝1的质点Q在平衡位置向y轴负方向运动，所以当简谐波沿x轴正向传播时PQ间距离为nλ1+3λ1/4，当波沿x轴负方向传播时PQ间距离为nλ2+λ2/4.因为（n+3/4）λ1＝1，所以λ1＝4/(3+4n)；同理因为nλ2+λ2/4＝1，所以λ2＝4/(1+4n).因此可得：

波沿x轴正向传播时的波速

103 v1m/s，n＝0，1，2„ T34n1波沿x轴负向传播时的波速

103 v2 m/s，n＝0，1，2„ T14n2[评价] 波在传播过程中，根据波的周期性，由于波长、周期和传播方向的不确定，使得传播速度具有多解性.