高等数学基础形成性考核册及答案

第1章函数

第2章极限与连续

（一）单项选择题

⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等． A.f(x)(x)，g(x)xB.

32f(x)x2，g(x)x

x21C.f(x)lnx，g(x)3lnxD.f(x)x1，g(x)

x1⒉设函数f(x)的定义域为(,)，则函数f(x)f(x)的图形关于（C）对称．

A.坐标原点B.x轴 C.y轴D.yx

⒊下列函数中为奇函数是（B）． A.yln(1x)B.y2xcosx

axaxC.yD.yln(1x)

2⒋下列函数中为基本初等函数是（C）． A.yx1B.yx

1,x02C.yxD.y

x01,⒌下列极限存计算不正确的是（D）．

x21B.limln(1x)0 A.lim2xx2x0sinx1C.lim0D.limxsin0 xxxx⒍当x0时，变量（C）是无穷小量． sinx1A.B.

xx1C.xsinD.ln(x2)

x⒎若函数f(x)在点x0满足（A），则f(x)在点x0连续。 A.limf(x)f(x0)B.f(x)在点x0的某个邻域内有定义

xx0C.

xx0limf(x)f(x0)D.limf(x)limf(x)

xx0xx0（二）填空题

x29ln(1x)的定义域是（3，+∞)． ⒈函数f(x)x322⒉已知函数f(x1)xx，则f(x)x-x．

1x1/2)e． ⒊lim(1x2x1x⒋若函数f(x)(1x),x0，在x0处连续，则ke．

x0xk,x1,x0⒌函数y的间断点是 x=0 ．

sinx,x0⒍若limxx0f(x)A，则当xx0时，f(x)A称为无穷小量．

（三）计算题

⒈设函数

ex,x0求：f(2),f(0),f(1)． f(x)x,x0解：f(-2)=-2，f(0)=0，f(1)=e

⒉求函数解：由

ylglg2x1的定义域． x2x10解得x<0或x>1/2，函数定义域为(-∞，0)∪(1/2，+∞) x⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试

将梯形的面积表示成其高的函数．

解：如图梯形面积A=(R+b)h，其中bRh

∴ 22⒋求 ⒌求

⒍求 ⒎求． ⒏求 x0x02⒐求

x6x8(x2)(x4)⒑设limlim22bA(RRh)hhRRtan3xsin3xlimlim3cos3x3x3x2x4x4x5x42(x1)(x4)3函数

(x2)2,x1f(x)x,1x1讨论f(x)x1,x1的连续性，并写出其连续区间．

解：

∴函数在x=1处连续 不高x1（一）单项选择题 ⒈设f(0)0且极限limA.f(0)B.f(0) C.f(x)D.0

⒉设f(x)在x0可导，则limA.2f(x0)B.f(x0) C.2f(x0)D.f(x0) ⒊设f(x)e，则A.eB.2e

xlimf(x)1f(1)存在，∴函数在x=-1处不连续

等数学基础第二次作业

第3章导数与微分

x0f(x)f(x)存在，则lim（B）．

x0xxh0f(x02h)f(x0)（D）．

2hx0limf(1x)f(1)（A）．

x11eD.e 24⒋设f(x)x(x1)(x2)(x99)，则f(0)（D）．

C.

A.99B.99 C.99!D.99!

⒌下列结论中正确的是（C）．

A.若f(x)在点x0有极限，则在点x0可导． B.若f(x)在点x0连续，则在点x0可导． C.若f(x)在点x0可导，则在点x0有极限． D.若f(x)在点x0有极限，则在点x0连续． （二）填空题

12xsin,x0⒈设函数f(x)，则f(0) 0 ． xx00,df(lnx)x2xx(2/x)lnx+5/x． ⒉设f(e)e5e，则

dxx1在(1,2)处的切线斜率是 1/2 ．

π

⒋曲线f(x)sinx在(,1)处的切线方程是 y=1 ．

4

2x2x⒌设yx，则y 2x(lnx+1) ．

⒊曲线f(x)⒍设yxlnx，则y1/x．

（三）计算题

⒈求下列函数的导数y：

⑴y(xx3)exy=(x3/2+3)ex，y＇=3/2x1/2ex+(x3/2+3)ex

=(3/2x1/2+x3/2+3)ex

⑵ycotxx2lnxy＇=-csc2x+2xlnx+x ⑶y⑷y⑸y⑹yx2y＇=(2xlnx-x)/ln2x lnxcosx2xx32x6

y＇=[(-sinx+2ln2)x-3x(cosx+2)]/xx3lnxx2= sinx3

x4sinxlnxy＇=4x-cosxlnx-sinx/x

sinxx2x2x2x

⑺yy＇=[(cosx+2x)3-(sinx+x)3ln3]/3 x3=[cosx+2x-(sinx+x2)ln3]/3x

⑻yextanxlnxy＇=extanx+exsec2x+1/x=ex(tanx+sec2x)+1/x ⒉求下列函数的导数y： ⑴ye1x ⑵ylncosx3

2⑶yxxxy=x7/8y＇=(7/8)x-1/8 ⑷y3xx ⑸ycos2ex

⑹ycosex

⑺ysinnxcosnxy＇=nsinn-1xcosxcosnx-nsinnxsinnx ⑻y5sinx ⑼yesinx ⑽yxxex ⑾yxeee

⒊在下列方程中，yy(x)是由方程确定的函数，求y： ⑴ycosxe2y方程对x求导：y＇cosx-ysinx=2y＇e2y

2222xx2y＇=ysinx/(cosx-2e2y)

⑵ycosylnx方程对x求导：y＇=y＇(-siny)lnx+(1/x)cosy

y＇=[(1/x)cosy]/(1+sinylnx)

x2⑶2xsiny方程对x求导：2siny+y＇2xcosy=(2xy-x2y＇)/y2

yy＇=2(xy–y2siny)/(x2+2xy2cosy)

⑷yxlny方程对x求导：y＇=1+y＇/y，y＇=y/(y-1)

⑸lnxeyy2方程对x求导：1/x+y＇ey=2yy＇，y＇=1/x(2y-ey) ⑹y21exsiny方程对x求导：2yy＇=exsiny+y＇excosy

y＇=exsiny/(2y-excosy)

⑺eyexy3方程对x求导：y＇ey=ex-3y2y＇，y＇=ex/ey+3y2 ⑻y5x2y方程对x求导：y＇=5xln5+y＇2yln2，y＇=5xln5/(1-2yln2) ⒋求下列函数的微分dy： ⑴ycotxcscx

lnx sinx1x⑶yarcsin

1x1x⑷y3

1x⑸ysin2ex

⑵y⑹ytanex

⒌求下列函数的二阶导数： ⑴yxlnx ⑵yxsinx ⑶yarctanx ⑷y3x （四）证明题

设f(x)是可导的奇函数，试证f(x)是偶函数．

证明：由f(x)=-f(-x)求导f＇(x)=-f＇(-x)(-x)＇ f＇(x)=f＇(-x)，∴f＇(x)是偶函数

23高等数学基础第三次作业

第4章导数的应用

（一）单项选择题

⒈若函数f(x)满足条件（D），则存在(a,b)，使得A.在(a,b)内连续 B.在(a,b)内可导 C.在(a,b)内连续且可导

D.在[a,b]内连续，在(a,b)内可导

⒉函数f(x)x4x1的单调增加区间是（D）． A.(,2)B.(1,1) C.(2,)D.(2,)

⒊函数yx4x5在区间(6,6)内满足（A）． A.先单调下降再单调上升B.单调下降 C.先单调上升再单调下降D.单调上升

⒋函数f(x)满足f(x)0的点，一定是f(x)的（C）．

A.间断点B.极值点 C.驻点D.拐点

⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x0(a,b)，若f(x)满足（C），则f(x)在x0取到极小值． A.f(x0)0,f(x0)0B.f(x0)0,f(x0)0 C.f(x0)0,f(x0)0D.f(x0)0,f(x0)0

⒍设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f(x)0,f(x)0，则f(x)在此区间内是（A）． A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的 C.单调增加且是凸的D.单调增加且是凹的

⒎设函数f(x)ax(ax)axa在点x1处取得极大值2，则a（）． A.1B.

3222f()f(b)f(a)．

ba1 3C.0D.1 3（二）填空题

⒈设f(x)在(a,b)内可导，x0(a,b)，且当xx0时f(x)0，当xx0时f(x)0，则x0是

f(x)的极小值点．

⒉若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f(x0)0．

⒊函数yln(1x)的单调减少区间是 (-∞，0) ．

2f(x)ex的单调增加区间是 (0，+∞) ．

⒌若函数f(x)在[a,b]内恒有f(x)0，则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a) ．

3⒍函数f(x)25x3x的拐点是x=0．

32⒎若点(1,0)是函数f(x)axbx2的拐点，则a ，b ．

⒋函数（三）计算题

2⒈求函数y(x1)(x5)2的单调区间和极值．

解：y＇=(x-5)2+2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5)

由y＇=0求得驻点x=1，5. 列表 x 1 (-∞，1) + 0 y＇ 32(1，5) — 5 0 (5，+∞) + y ↑ Ymax=32 ↓ Ymin=0 ↑ (-∞，1)和(5，+∞)为单调增区间，(1，5)为单调减区间，极值为Ymax=32，Ymin=0。 ⒉求函数y3(x22x)2在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值．

解：y＇=2x-2，驻点x=1是极小值点，在区间[0，3]上最大值为y(3)=6，最小值为y(1)=2。 x y＇ y 0 - 3 (0，1) - ↓ 1 0 2 (1，3) + ↑ 3 6 ⒊试确定函数yax3bx2cxd中的a,b,c,d，使函数图形过点(2,44)和点(1,10)，且x2是驻点，x1是拐点．

⒋求曲线y22x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短．

解：曲线y2=2x上的点(x，y)到点A(2，0)的距离d由(d2)＇=0求得x=1，由此得所求点有两个：(1,(x2)2(2x0)2d2=x2-2x+4，(d2)＇=2x-2，

2),(1,2)

⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？

解右图为圆柱体的截面， 由图可得R2=L2-H2

圆柱体的体积V=πR2H=π(L2-H2)H

R3L， V＇=π(L-3H)，由V＇=0解得H3623L，圆柱体的体积VL3最大。 此时R39⒍一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？

2

2

LH解：圆柱体的表面积S=2πR2+2πRH

由体积V=πR2H解得H=V/πR2 ∴S=2πR2+2V/R

S＇=4πR-2V/R2=2(2πR3-V)/R2

由S＇=0解得R3R3HVV，此时H24238V2R

2V2答：当高与底面直径相等时圆柱体表面积最小。

⒎欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设长方体底面边长为a高为h

表面积S=a2+4ah ∵a2h=62.5，∴h=62.5/a2

S=a2+250/a，S＇=2a-250/a2=(2a3–250)/a2，

由S＇=0解得a=5m，h=2.5m，此时S=75m2最小，即用料最省。

ah⒏从面积为S的所有矩形中，求其周长最小者． ⒐从周长为L的所有矩形中，求其面积最大者． （四）证明题

⒈当x0时，证明不等式xln(1x)．

证明：令f(x)=x-ln(1+x)，f(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)

当x＞0时有f＇(x)＞0，f(x)为增函数，又f(0)=0 ∴当x＞0时f(x)＞0，即x＞ln(1+x)

⒉当x0时，证明不等式exx1．

证明：令f(x)=ex/(x+1)，

f＇(x)=[ex(x+1)-ex]/(x+1)2=xex/(x+1)2

当x＞0时有f＇(x)＞0，f(x)为增函数，又f(0)=1 ∴当x＞0时f(x)＞1，即ex＞x+1

高等数学基础第四次作业

第5章不定积分

第6章定积分及其应用

（一）单项选择题 ⒈若f(x)的一个原函数是A.lnC.

1，则f(x)（D）． xxB.1 2x12D.3 xx⒉下列等式成立的是（D）．

f(x)dxf(x)B.df(x)f(x)

dC.df(x)dxf(x)D.f(x)dxf(x)

dx⒊若f(x)cosx，则f(x)dx（B）．

A.

A.sinxcB.cosxc C.sinxcD.cosxc

d23xf(x)dx（D）． dx323A.f(x)B.xf(x) 113C.f(x)D.f(x) 33⒋⒌若

f(x)dxF(x)c，则1x1xf(x)dx（B）．

A.F(x)cB.2F(x)c C.F(2x)cD.

F(x)c

⒍由区间[a,b]上的两条光滑曲线yf(x)和yg(x)以及两条直线xa和x面积是（）． A.C.

b所围成的平面区域的

ba[f(x)g(x)]dxB.[g(x)f(x)]dx

abbaf(x)g(x)dxD.

ba[f(x)g(x)]dx

⒎下列无穷限积分收敛的是（D）． A.C.

111dxB.exdx

0x11dxD.dx

1x2x（二）填空题

⒈函数f(x)的不定积分是

f(x)dx

⒉若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式F(x)=G(x)+c． ⒊d⒋

ex2e dxdx ．

x2(tanx)dx tanx+c ．

⒌若f(x)dxcos3xc，则f(x) -9cos3x ．

1⒍(sinx)dx3．

2353⒎若无穷积分

11dx收敛，则p＞1 ． px（三）计算题

1xdxcos1(1)dxcox1d(1)sin1c

⒈xx2xxxx21exdx2exd(x)2exc ⒉dx2ex2xx11⒊dxd(lnx)ln|lnx|c

xlnxlnx11x1⒋xsin2xdxx(cos2x)dx(xcos2x(x)cos2xdx)cos2xsin2xc

2224e3lnxe31117⒌dx[lnx()]dx(3lnxln2x)|3

11xxx22211112x11212x13e212x12x2x⒍xedxx(e)dx(xe|edx)(ee|)

000020222422exexeex211x2e3e2lnx)|dx|⒎xlnxdx()lnxdx(

11111222x244elnxe1e1e111e2⒏ dx()lnxdxlnxdx1|11x2|1x1x2xex1ecos（四）证明题

⒈证明：若f(x)在[a,a]上可积并为奇函数，则证明：

0aaf(x)dx0．

aaf(x)dxf(x)dxf(x)dx，在第一项中令

a00ax=-t，

则af(x)dxa证明：

00f(t)dtf(t)dtf(x)dx，∴f(x)dx0

00aaaa⒉证明：若f(x)在[a,a]上可积并为偶函数，则

aaf(x)dx2f(x)dx．

0aaaf(x)dxf(x)dxf(x)dx，在第一项中令

a00aaa00a0ax=-t，

a0则af(x)dxa⒊证明：

f(t)dtf(t)dtf(x)dx，∴f(x)dx2f(x)dx

a0aaf(x)dx[f(x)f(x)]dx