研 究 生 结 课 论 文
题目浅议基于历史模拟法计算VaR的一种改进方法
摘 要
金融风险管理中常利用VaR技术进行管理。VaR技术具有简单明了的特点。计算的方法也很多。本文提出的一种基于历史模拟法的改进办法,初步克服了历史模拟法对近期风险的不敏感性。并与目前流行的极值理论计算所得VaR做比较,得到在所选数据中,改进的历史模拟法更精确地预测未来的损失。说明在某些场合下,改进的历史模拟法仍然具有操作上的优势。
关键词:VaR 收益分布 极值理论 历史模拟法
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目 录
1. 利用 VaR 管理风险的背景 .......................................................................................................................... 4 2. 如何利用 VaR 管理风险 .............................................................................................................................. 4
2．1、以往认识的局限 .............................................................................................................................. 4 2．2、利用基于历史模拟法的一种改进方法计算VaR .......................................................................... 5 3. 实证分析 ......................................................................................................................................................... 7
3．1、VaR的计算 ...................................................................................................................................... 7 3．2、比较 .................................................................................................................................................. 8 4. 结束语 ............................................................................................................................................................. 8 参考文献： .......................................................................................................................................................... 9
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一、利用 VaR 管理风险的背景
以资产报酬的方差来衡量风险,只考虑未来潜在的收益与损失的不确定性,无法确切表达潜在的损失金额,这显然不能满足实务中对资产损失的风险衡量的要求。
而VaR的产生弥补了这种缺陷。正常的市场条件下,对于给定的置信水平1-α,其对应的临界值即为该项金融资产或投资组合在统计上的最大可能损失金额,称为风险价值(VaR)。虽然实际损失的金额仍有可能超过VaR,但是根据抽样分布理论,损失金额超过VaR的概率不能超过α。
目前有越来越多的统计技术渗透到风险管理中, VaR仍然在风险管理中起着举足轻重的作用。这是因为：1、VaR可以用来简单明了表示市场风险的大小,单位是人民币或其他货币,没有任何技术色彩,没有任何专业背景的投资者和管理者都可以通过VaR值对金融风险进行评判；2、可以事前计算风险,不像以往风险管理的方法都是在事后衡量风险大小；3、不仅能计算单个金融工具的风险，还能计算由多个金融工具组成的投资组合风险,这是传统金融风险管理所不能做到的。
二、如何利用 VaR 管理风险
(一) 以往认识的局限
估计VaR的关键问题是找出损益的概率分布。统计上可以从两个不同的角度估计它,已知分布族时用参数估计方法来确定VaR；未知时则用非参数方法(比如经验分布或核密度估计)直接引入分位数, 利用分位数值做为VaR。
过去我们认为损益的概率分布是正态的。可是后来发现收益的情况是“尖峰厚尾”,和正态分布密度函数曲线有很大区别。比正态分布更加“尖峰厚尾”的t分布(事实上,当t分布的自由度大于30的时候,其密度函数与正态分布的密度函数的差异已经相当小,以至于有的统计学家认为此时可以用标准正态分布代替t分布)见下表:t分布密度函数最大值p(0,n)与方差VaR(t)随自由度n的变化)和双Weibull分布也不能很好的描述收益分布。后文中的分布检验也可以看到这样的事实。
t分布密度函数最大值与方差 VaR(t)随自由度n的变化 n 2 4 6 10 20 30 40 ∞ P（0，n） 0.3536 0.3570 0.3827 0.31 0.3940 0.3956 0.3965 0.39 Var（t）= / 2.00 1.50 1.25 1.11 1.07 1.05 1.00 究其原因,部分是因为当金融资产出现大涨或大跌等较大变化时人们的投机及规避
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风险的心理会促使其购买或抛售自己手中的资产, 从而加重了在收益分布在双侧极端的概率堆积,结果导致“厚尾”。其次大多数情况下的金融资产(以外汇为例),由于市场的平衡套利作用, 使得收益应该集中在 0附近,所以“尖峰”情况大量存在。
以前用正态分布描述收益率分布是基于人们认为收益率极端高与极端低出现的概率应该比收益率为0的概率低很多,并且越极端的事件出现的概率越小以及大部分收益应该集中在0的附近。遗憾的是, 没有任何理论证明收益率的分布是正态分布,而仅仅是出于人们的“经验”。随着统计技术的发展和人们认识水平的提高,大家越来越注意到收益分布不能完全用正态分布来拟合的事实。并且对金融资产的收益率分布来说,并不是正态或t分布那样对称。经常出现的情况是“峰”不严格在0的很小的邻域内,而明显偏移。对不同的市场和时段呈现不同的左偏或右偏。其次,正拖尾与负拖尾也不是完全对称的。目前,已知的概率密度函数并不能很好拟合收益率分布。于是我们考虑利用非参数方法(如利用经验分布函数的办法)或局部参数方法(如针对尾部或峰部分别建模)。
(二)利用基于历史模拟法的一种改进方法计算VaR
计算VaR一般来说有三种方法,分别是参数、历史模拟法和蒙特卡洛模拟法。我们需利用两种或两种以上的估计方法来计算VaR，最后加以比较权衡。
我们选用历史模拟法。历史模拟法是非参数方法的一种。这种办法计算较简便且效率较高。历史模拟法的局限性主要在于：对于结构的变化调节很缓慢，因为一次或偶尔几次的极端事件对整个收益率分布的影响有限,即当在管理金融风险的过程中已经出现了极端损失, 再利用以前较长时间的数据进行的历史模拟法将要特别小心；历史模拟法对过去的数据取相同的权重,而事实上近期的收益率信息对短期未来的影响将可能更大。
传统的历史模拟法的做法是,对历史的所有数据进行从小到大进行排列,选出相应的分位数作为 VaR。
问题在于如果有100个历史收益率数据,那么将会有一个分位数；如果有10000个数据,得到的还是一个数据。那10000比100到底好在什么地方呢? 它更真实地反映了收益率的分布,但是再真实的分布也不能对未来进行预测。于是本文提出一种基于历史模拟法的改进历史模拟VaR计算法,它具有计算简便和预测准确的特点,利于在实际操作中简单、高效地计算 VaR。
另外，极值理论是测量极端市场条件下风险损失的一种常用方法，POT（Peak Over Threshold）模型是极值理论中最有用的模型之一。它对分布尾部进行估计，一般有Hill统计计量方法（半参数法）和广义Pareto分布模型（参数法）两种途径。我们将对利用广义Pareto分布模型估计出的VaR与在本文中提出改进历史模拟VaR法计算所得VaR
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进行比较。
广义Pareto分布（GPD）模型计算VaR
广义Pareto分布是由Pickands在1975年首次提出的。GDP的形式为
(x)=
其中，σ为尺度参数，ε为形状参数。1/ε为尾部指数：ε>0，就是具有“厚尾”分布的GPD，在金融分析中比比皆是；ε=0，GPD就是指数分布；ε<0，就是Pareto Ⅱ型分布，具有“薄尾”的特点。
假设序列
,
,
······是ⅱd∶F，F是一未知分布。用U表示某一充分大的
, ）。定义
,
······
为超过临界值的样本，记：
为超过临界值U的超额损失分布，则：
临界值。设超过U 的样本个数为
,（i=1,2······
(y)=P{X-u≤y|X>u}=
Balkema，De Haan和Pickands指出，对充分大的临界值U，超额损失分布函数收敛于某一GPD。于是F(x)=[1-F（u）]
以
（1+
）。
作为F（u）的估计值，代入上式可得：F（x）=1-
利用概率权重矩法（Hosking和Wallis，1987）估计ε与σ表达式为：
和
临界值U的选取是正确估计参数ε与σ的基础。采用McNeil和Frey提出的方法，认为尾部和正态分布的交点就是厚尾分布的临界值。其中正态分布是具有和历史数据相同均值和方差的正态分布。
基于历史模拟法计算VaR的一种改进方法
对于N个历史收益率数据，选择其中M个，共有种选法。记每次选出来的M个数据为{们将得到
}，i=1······
,即它的分位数为{
}，i=1······
。我
个分位数。根据对风险的不同敏感度，选择相对应的分位数作为VaR。它
是取自总体分布函数F)=1。
从某种程度上反映了收益率的真实分布中分位数的信息。
定理1：（格里汶科）对任意给定的自然数n，设（x）的一个样本观察值，
则有P(
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（x）为其经验分布函数，记
此定理告诉我们经验分布函数可以越来越接近总体分布函数。因此我们用经验分布
函数的分位数来逼近总体分布的%分位数。
是来自具有密度函数p（x）的总体的一个样本，其中p（0,1），处连续，且p（
有
）>0，又定义k，使得k=np+o(
)，则
定理2：设
p（x）在总体p的分位数
对样本的第k个次序统计量
此定理说明，经验分布的分位数是以总体分位数为均值呈正态分布的。
三、实证分析
（一）VaR的计算
我们选定万科A（000002）和方正科技（600601）从2004年3月18日至2005年3月18日的共244个交易日的对数收益数据来计算VaR。
首先对收益是否服从正态分布利用KS检验法进行检验。
万科检验结果：
KS统计量 0.0762 KS统计量 0.0752 P值 0.0016 P值 0.0019 样本均值 -0.000149469 方正检验结果： 样本均值 -0.0001834738 样本标准差 0.02606369 样本标准差 0.02145373 两个收益来自正态的概率都小于1%。我们拒绝来自正态的假设。
其次，一阶自相关系数为-0.035，p=0.91，并不能认为序列间有显著的一阶相关关系，故序列来自同分布的假设可以成立。最后，Dickey-Fuller检验的p=0.00007268，说明序列服从随机游走，是平稳的。
极值理论的实证分析结果：
选择的临界值u=-0.02431544，小于此临界值的极值共14个。对其取绝对值后计算可得：b0=0.4159377，b1=0.01733333，于是o=0.208155和e=4.004486.由此可以计算出 置信水平 VaR 95% 2.58% 97.5% 3.14% 99% 3.50% 利用本文提出的改进历史模拟法计算95%置信水平的VaR，我们对N=244个加权的收益率，每次依次按时间先后顺序取K=100个，即第一次取第1个到第100个数据、第二次取第2个到第101个数据，分别计算5%分位数并依次类推。由此计算出的5%分位数的波动区间是（0.0238,0.0354）,均值=0.0288，标准差=0.00403。按定理2，此分位
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数的极限分布是正态的。也可利用[mean-1.96σ,mean+1.96σ]构造出分位数的置信区间（0.0209,0.0367）。
其次计算99%置信区间的VaR。范围从（0.0414,0.0581），均值0.0528，标准差0.00557。则95%的置信区间为(0.0419,0.0637)。根据投资者对风险的不同喜好以及对资金流动的不同要求, 可以选择相适应的 VaR。
（二）比较
此处利用改进历史模拟法中计算所得VaR的均值与极值理论的计算结果加以比较(前文已提到，在置信区间范围内的VaR都可以接受,此处选用“中间值”均值做比较)。对于95%的VaR,两者相差不大；对较大的风险,极值理论的结果在此处低估了风险。从经验分布看, 样本的1%分位数(99%VaR)是5.39%。改进历史模拟法的结果5.28%与其相差不大。
极值理论在应用中有以下缺陷:
1.需首先确定临界值。而临界值的确定方法多种, 务必会给实际操作带来麻烦。 2.模型中参数估计的方法较多。针对不同数据有优劣之分。有时各种方法估计出来的结果相差较大。故需在多种估计之后综合考虑。
3.极值理论的结果往往过高估计VaR,使风险管理者必须多储备风险金, 给资金流动与外部投资带来了麻烦。
4.极值模型的计算较繁琐, 计算成本较大。
四、 结束语
利用历史模拟的办法计算VaR是实际操作中常用的方法。其背景知识简单,操作简便。不过它对市场急剧变化的风险天生缺乏敏感度。在连续亏损的情况下,应该怎么合理利用历史模拟法,使其能恰当反映出市场的高风险状态。在此次的数据中, 连续亏损的概率以下表给出: 概率 前1天下跌 后一天继续下跌 0.5122951 前2天下跌 后一天继续下跌 0.2418033 前3天下跌 后一天继续下跌 0.1106557 可见, 其负相关性还是比较强的。利用历史模拟法是无法反映这些现象的。市场出现连续亏损很可能不是随机的, 而历史模拟法的根源是认为收益率是同分布的。今后对历史模拟法的改进重点应放在如何用其他模型克服历史模拟法对风险“不敏感”的缺陷。这也将是本文以后的工作方向。
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参考文献
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[7]数据来源: 万得资讯(Wind 资讯) www.wind.com.cn
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