2021年中考数学专题练习：有理数与无理数
一．选择题（共8小题）
1．下列实数为无理数的是（ ） A．﹣5
B．
C．0
D．π
2．下列四个数中，是正整数的是（ ） A．﹣1
B．0
C．
D．1
3．下列各数中，是负整数的是（ ） A．﹣6 4．在实数
、
B．3 、π、
C．0
D．
、0.1212212221…（两个1之间依次多一个2）中，其中无
理数的个数有（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．如果a是一个有理数，那﹣a一定是一个（ ） A．正数 C．0
6．0是一个（ ） A．负整数
B．正分数
C．非负整数
D．正整数
B．负数
D．正数或负数或0
7．下列结论正确的是（ ） A．不大于0的数一定是负数
B．海拔高度是0米表示没有高度 C．0是正数与负数的分界
D．不是正数的数一定是负数
8．下列各数：﹣2，0，|﹣|，﹣，3.1，是负分数的有（ ） A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二．填空题（共8小题） 9．在﹣2、
，4.121121112、π﹣3.14，
、0.5中，是无理数的为 ．
10．在有理数﹣0.2，﹣3，0，3，﹣5，1中，非负整数有 ．
1
11．在有理数﹣0.2，0，，﹣5中，整数有 ．
12．有三个有理数，分别是﹣1、a、a+b，或者写成0、﹣、b，那么数a的值是 ． 13．在有理数集合中，最小的正整数是 ，最大的负整数是 ． 14．在﹣，﹣5，0.7，0，﹣1，﹣20%这6个数中，属于整数的是 ．
15．有理数：﹣1，2.5，+，0，﹣3.14，120，﹣1.732，﹣中，非正数是 ；负分数是 ．
16．若直角三角形的三边长分别为2，3，a，等腰三角形的三边长分别为2，3，b．下列结论：①a一定是无理数；②a＜b；③ab＜11．其中所有正确结论的序号是 ． 三．解答题（共6小题）
17．定义：若有理数a，b满足等式a+b＝ab+2，则称a，b是“雉水有理数对”，记作（a，b）．如：数对（2，0），（，3）都是“雉水有理数对”．
（1）数对（4，） （填“是”或“不是”）“雉水有理数对”； （2）若（m，5）是“雉水有理数对”，求m的值；
（3）请写出一个符合条件的“锥水有理数对” （注意：不能与题目中已有的“雉水有理数对”重复）
18．观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，），都是“共生有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是 ；
（2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） “共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
（3）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为 ；（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）
（4）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值．
2
19．无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读下列资料：由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数．转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”．一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了．例题：例如把0.和0.2
化为分数
请用以上方法解决下列问题 （1）把0.（2）把0.3
20．把下列各数填到相应的集合中：
，49，﹣6，3.1415，﹣10，0.62，﹣（1）整数集合：{ } （2）负分数集合：{ } （3）非负数集合：{ }．
，18，0，﹣2.3，7，﹣3.2
化为分数 化为分数．
3
答案与解析
一．选择题（共8小题）
1．下列实数为无理数的是（ ） A．﹣5
B．
C．0
D．π
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、﹣5是整数，是有理数，选项错误； B、是分数，是有理数，选项错误； C、0是整数，是有理数，选项错误； D、π是无理数，选项正确； 故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2．下列四个数中，是正整数的是（ ） A．﹣1
B．0
C．
D．1
【分析】正整数是指既是正数还是整数，由此即可判定求解． 【解答】解：A、﹣1是负整数，故选项错误； B、0是非正整数，故选项错误； C、是分数，不是整数，错误； D、1是正整数，故选项正确． 故选：D．
【点评】此题主要考查正整数概念，解题主要把握既是正数还是整数两个特点，比较简单．
3．下列各数中，是负整数的是（ ） A．﹣6
B．3
C．0
D．
【分析】根据负整数的定义即可判定选择项． 【解答】解：A、﹣6为负整数，故选项正确；
4
B、3为正整数，故选项错误；
C、0不是正数，也不是负数，故选项错误； D、为正分数，故选项错误． 故选：A．
【点评】本题主要考查了实数的相关概念及其分类方法，然后就可以熟练进行判断，难度适中． 4．在实数
、
、π、
、0.1212212221…（两个1之间依次多一个2）中，其中无
理数的个数有（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可． 【解答】解：无理数有故选：C．
【点评】本题考查了无理数，能熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数含有①含π的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数． 5．如果a是一个有理数，那﹣a一定是一个（ ） A．正数 C．0
B．负数
，π，0.1212212221…（两个1之间依次多一个2），共3个，
D．正数或负数或0
【分析】根据有理数包括正数、0、负数进行判断即可．
【解答】解：如果a是一个有理数，那﹣a可能是正数或负数或0， 故选：D．
【点评】本题考查了对正数，负数，有理数等知识点的理解和运用，注意：0不是正数也不是负数，有理数包括正数、0、负数． 6．0是一个（ ） A．负整数
B．正分数
C．非负整数
D．正整数
【分析】根据有理数的定答即可． 【解答】解：0是一个非负整数， 故选：C．
【点评】本题考查了有理数，熟记有理数的定义是解题的关键． 7．下列结论正确的是（ ）
5
A．不大于0的数一定是负数
B．海拔高度是0米表示没有高度 C．0是正数与负数的分界
D．不是正数的数一定是负数
【分析】根据正数和负数的定义进行判断即可． 【解答】解：A． 不大于0的数是负数 和0，错误； B． 海拔高度是0米不能表示没有高度，错误； C． 0是正数与负数的分界，正确； D． 不是正数的数是负数或0，错误； 故选：C．
【点评】本题比较简单，考查的是有理数，关键是根据正数和负数的意答． 8．下列各数：﹣2，0，|﹣|，﹣，3.1，是负分数的有（ ） A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【分析】根据小于零的分数是负分数，可得答案． 【解答】解：﹣是负分数， 故选：D．
【点评】本题考查了有理数，利用了负分数的意义． 二．填空题（共8小题） 9．在﹣2、
，4.121121112、π﹣3.14，
、0.5中，是无理数的为
，π﹣3.14 ．
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【解答】解：在﹣2、﹣3.14， 故答案为：
，π﹣3.14．
，4.121121112、π﹣3.14，
、0.5中，是无理数的是
，π
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，
，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
10．在有理数﹣0.2，﹣3，0，3，﹣5，1中，非负整数有 0、1 ． 【分析】根据非负整数就是不小于0的整数填入即可． 【解答】解：非负整数有0，1，
6
故答案为：0，1．
【点评】本题主要考查非负整数的定义，需要熟练掌握并灵活运用，对有的数需要化简后再判断．
11．在有理数﹣0.2，0，
，﹣5中，整数有 0，﹣5 ．
【分析】根据有理数的分类进行填空．
【解答】解：因为整数包括正整数、负整数和0，所以属于整数的有：0，﹣5． 故答案是：0，﹣5．
【点评】考查了有理数．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 12．有三个有理数，分别是﹣1、a、a+b，或者写成0、﹣、b，那么数a的值是 1 ． 【分析】根据题意可知a+b，a中有一个为0，且 求得a＝1，b＝﹣1．
【解答】解：由题意可知：a+b，a中有一个为0，且 当a＝0时，则∴a+b＝0． ∵a+b＝0． ∴
，
没有意义，不成立；
，b中有一个为﹣1， ，b中有一个为﹣1，然后分类讨论
∴b＝﹣1．（b＝1不合题意）． ∴a＝1． 故答案为：1．
【点评】本题主要考查的是求代数式的值，根据有理数的运算法则判断出a＝1，b＝﹣1是解题的关键．
13．在有理数集合中，最小的正整数是 1 ，最大的负整数是 ﹣1 ．
【分析】根据正整数和负整数的定义来得出答案．正整数：+1，+2，+3，…叫做正整数．负整数：﹣1，﹣2，﹣3，…叫做负整数．特别注意：0是整数，既不是正数，也不是负数． 【解答】解：在有理数集合中，最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1． 故答案为1；﹣1．
【点评】本题主要考查了有理数的分类及定义．认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．
7
特别注意：整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
14．在﹣，﹣5，0.7，0，﹣1，﹣20%这6个数中，属于整数的是 ﹣5，0，﹣1 ． 【分析】根据有理数的定义即可得到结论．
【解答】解：在﹣，﹣5，0.7，0，﹣1，﹣20%这6个数中，属于整数的是﹣5，0，﹣1，
故答案为：﹣5，0，﹣1．
【点评】本题考查了有理数的定义，熟记定义是解题的关键．
15．有理数：﹣1，2.5，+，0，﹣3.14，120，﹣1.732，﹣中，非正数是 ﹣1，0，﹣3.14，﹣1.732，﹣ ；负分数是 ﹣3.14，﹣1.732，﹣ ． 【分析】按照有理数的分类填写：
有理数．
【解答】解：非正数是：﹣1，0，﹣3.14，﹣1.732，﹣， 负分数是：﹣3.14，﹣1.732，﹣．
故答案是：﹣1，0，﹣3.14，﹣1.732，﹣；﹣3.14，﹣1.732，﹣．
【点评】本题考查了有理数的分类．认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 16．若直角三角形的三边长分别为2，3，a，等腰三角形的三边长分别为2，3，b．下列结论：①a一定是无理数；②a＜b；③ab＜11．其中所有正确结论的序号是 ①③ ． 【分析】①利用勾股定理可求出a＝①正确；
②根据等腰三角形的性质可得出b＝2或b＝3，由2＜比较大小，结论②错误； ③由≤
，b≤3，可得出ab≤3
＜11，结论③正确．综上即可得出结论．
＜3＜
，可得出a、b无法
或a＝
，进而可得出a一定是无理数，结论
【解答】解：①∵直角三角形的三边长分别为2，3，a，
8
∴a＝＝或a＝＝，
∴a一定是无理数，结论①正确； ②∵等腰三角形的三边长分别为2，3，b， ∴b＝2或b＝3， ∵2＜
＜3＜
，
∴a、b无法比较大小，结论②错误； ③∵a≤∴ab≤3
，b≤3，
＜11，结论③正确．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了无理数及实数的大小，逐一分析三条结论的正误是解题的关键． 三．解答题（共4小题）
17．定义：若有理数a，b满足等式a+b＝ab+2，则称a，b是“雉水有理数对”，记作（a，b）．如：数对（2，0），（，3）都是“雉水有理数对”．
（1）数对（4，） 是 （填“是”或“不是”）“雉水有理数对”； （2）若（m，5）是“雉水有理数对”，求m的值；
（3）请写出一个符合条件的“锥水有理数对” （3，） （注意：不能与题目中已有的“雉水有理数对”重复）
【分析】（1）根据“雉水有理数对”的定义即可判断； （2）根据“雉水有理数对”的定义列方程即可解决问题；
（3）根据“雉水有理数对”的定义，先确定a的值，代入等式可得b的值，写出即可． 【解答】解：（1）∵4+＝∴4+＝4×+2，
∴数对（4，） 是“雉水有理数对”； 故答案为：是；
（2）∵（m，5）是“雉水有理数对”， ∴m+5＝5m+2， m＝，
9
，4×+2＝，
（3）符合条件的“锥水有理数对”：（3，）． 故答案为：（3，）．
【点评】本题考查有理数的混合运算、“雉水有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，），都是“共生有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是 （3，） ；
（2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） 是 “共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
（3）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为 （4，）或（6，） ；（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复） （4）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值． 【分析】（1）根据“共生有理数对”的定义即可判断； （2）根据“共生有理数对”的定义即可解决问题； （3）根据“共生有理数对”的定义即可判断；
（4）根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题． 【解答】解：（1）﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝1， ∴﹣2﹣1≠﹣2×1+1，
∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”， ∵3﹣＝，3×+1＝， ∴3﹣＝3×+1，
∴（3，）是“共生有理数对”； （2）是．
理由：﹣m﹣（﹣m）＝﹣n+m， ﹣n•（﹣m）+1＝mn+1，
∵（m，n）是“共生有理数对”，
10
∴m﹣n＝mn+1， ∴﹣n+m＝mn+1，
∴（﹣n，﹣m）是“共生有理数对”； （3）（4，）或（6，）等； （4）由题意得： a﹣3＝3a+1， 解得a＝﹣2．
故答案为：（3，）；是；（4，）或（6，）．
【点评】本题考查有理数的混合运算、“共生有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读下列资料：由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数．转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”．一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了．例题：例如把0.和0.2
化为分数
请用以上方法解决下列问题 （1）把0.（2）把0.3
化为分数 化为分数．
【分析】（1）、（2）根据所给例题的解题方法进行解答即可． 【解答】解（1）∵0.
×100＝17.
11
∴0. 0.0.
×100﹣0.＝17.﹣0.
×（100﹣1）＝17， ＝
，
×10＝3.
①
（2）∵0.30.3
×1000＝313.•② ×1000﹣0.3
×10＝313.
﹣3.
，
∴由 ②﹣①得0.30.30.3
（1000﹣10）＝310， ＝
．
【点评】本题考查了有理数，掌握材料中所提供的解题方法是解题的关键，难度不大． 20．把下列各数填到相应的集合中：
，49，﹣6，3.1415，﹣10，0.62，﹣（1）整数集合：{ 49，﹣10，18，0 } （2）负分数集合：{ ﹣6，﹣（3）非负数集合：{
，﹣2.3，﹣3.2 }
，18，0，﹣2.3，7，﹣3.2
，49，3.1415，0.62，0，7 }．
【分析】利用整数，非负数，以及负分数定义判断即可． 【解答】解：（1）整数集合：{49，﹣10，18，0}； （2）负分数集合：{﹣6，﹣（3）非负数集合：{
，﹣2.3，﹣3.2}；
，49，3.1415，0.62，0，7}．
，﹣2.3，﹣3.2；（3）
，49，
故答案为：（1）49，﹣10，18，0；（2）﹣6，﹣3.1415，0.62，0，7
【点评】此题考查了有理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
12
