数形结合求二次函数的最值
一.教材分析1.内容、地位和作用
函数是初等数学中最基本的概念之一，实际生活中数学建模的重要工具之一对二次函数的最值问题进行探究
贯穿于整个初等数学体系之中，也是
.本节课的主要内容是利用数形结合的思想
.它是从函数图像入手，通过学生手中的学具动
,求出函数的最值，进而得
.通过学习，
态演示，画出相应的函数图像，确定分类讨论的标准
到解决此类问题的一般方法，并运用此方法解决了相关的最值问题学生将会借助二次函数的图像研究二次函数的最值，最值的因素，进一步体会数形结合的思想方法
2.教学重点与难点重点：
.
并能由此得到影响二次函数
1、掌握当二次函数确定、自变量的取值范围发生变化时，二次函数的最值问题；
2、掌握当二次函数发生变化、自变量的取值范围确定时，二次函数的最值问题.
难点：如何分类讨论二次函数的最值.二.教学目标分析1.知识与技能
(1)会利用分类讨论的思想确定含参数的函数解析式、含参数自变量取值范围的分类标准，进行分类讨论，解决相关函数的最值问题；
(2)能灵活运用数形结合思想解决二次函数的最值问题2.过程与方法
(1)经历探索二次函数最值问题的过程，感悟由特殊到一般再到特殊的研究方法，发展学生归纳总结的能力；
(2)在探究二次函数最值问题的过程中，引导学生感知数形结合及数学化归思想.
3.情感、态度与价值观
(1)通过设置丰富的问题情境，鼓励学生积极探索和交流；
.
(2)通过开放式的教学方法，培养学生的数学思维能力和自主学习习惯三.教学过程分析【课前回顾】已知二次函数y
x
2
.
2x3，请按要求完成：
（1）画出函数图像；
（2）求出它的最大值和最小值.
师生活动：教师引导，学生口答：如何准确的画出函数图像？针对很多时候解决函数问题可以只画出一个草图，继续追问，如何快速画出一个函数的草图？并结合图像求出函数的最值
.
设计意图：引导学生结合函数图像思考问题，直观地发现自变量x的取值范围影响了二次函数的最值.为下一个问题做铺垫.
【探究一】：求二次函数y①-1≤x≤０解：当x
0时，y最小
3,当x
x
2
2x3的最值.
1时，y最大
6;
②2≤x≤３解：当x
2时，y最小
3,当x
3时，y最大
6;
③-1≤x≤２解：当x1时，y最小
④0≤x≤３解：当x1时，y最小⑤0≤x<2解：当x1时，y最小⑥02,当x3时，y最大
6;
2,当x
0时，y最大
3;
2,当x
3时，y最大
6;
2,当x
1时，y最大
6;
师生活动:通过对前面问题的研究，首先画出这六个自变量取值范围对应的
函数图像，观察函数图像，自主发现求解二次函数最值的方法，即在函数图像的
.遇
最高点处，取得函数的最大值，在函数图像的最低点处，取得函数的最小值到这类问题时，我们通常要结合函数图象，数形结合进行分析
.
设计意图：引导学生通过观察函数图像，直观地发现对称轴和自变量范围的相对位置影响了二次函数的最值做铺垫.
【探究二】：求函数y
x
2
x取值
,为下一步解决定函数动范围的最值问题
2x3在1
xm上的最值，并求此时x的值.
师生活动:教师引导学生先观察这个问题，有了问题一的铺垫，问题二为函数确定但取值范围不定的最值问题，课堂上引导学生先观察问题一和问题二的区别，分析参数m的变化对二次函数图像的影响，然后得出解决问题的关键就是要画出所有可能的函数图像，然后确定出分类标准，在小组内运用课前准备的学具，动态模拟取值范围的变化，观察图像，求出函数的最值
.运用互动课堂软件，将
学生的作图投影到大屏幕上，展示学生的探究成果，要求学生自己分析函数图像，得出相应的结论。
解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上
1时，ymax
6;当x
m
1.当1m1时，∵函数y随x的增大而减小，∴当x时，ymin
m
2
2m3；
2；当x
2.当1m3时，∵在顶点处取得最小值，∴当x1时，ymin
ymax
6.
1时，
3.当m3时，∵函数在1x1时，函数y随x的增大而减小，函数在1
1时,ymin
2,当x
xm
时，函数y随x的增大而增大，∴当x
ymax
m
2
m时,
2m
3.
设计意图：让学生进一步感受到了数形结合的好处，图像可以很直观的得出
一些结论，学生在做题时，也可以利用手中的尺子、笔等物品模拟一些运动过程，从而观察图像的变化，画出各种情况的图像研究函数问题培养探究意识.
,进而确定分类标准，
【探究三】：求函数y
x
2
bx
3在1
x2上的最值.
师生活动:问题三在问题二的基础上继续变化，为动函数定范围的最值问题，此环节，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，以学生为主体，先思考，培养学生问题意识和自学能力，然后小组探究，培养学生与他人合作交流的能力，并且请小组派出代表上台利用学具讲解这个问题，考，最后计算机软件展示函数的动态图像，
让所有同学参与其中，积极思
学生完善这道题的函数图像，并写出
完整的解答过程，这里强调解题规范，认真答题。解:函数图象的对称轴为直线1.当
b2
<－1时，即bb22b.b2
2，即12
x
b2
,抛物线开口向上1时，y最小
b2
2时，当x1b
当x4b；时，y最小
12
2时，y最大
b4
2
72b.
2.当1
y最大
712
，即2时，当x;当x2时，
3.当
y最大
4b1时，当x
b2
时，y最小
124
b
2
;当x1时，
4b.b2
2时，即b
4.当
4时，当x2时，y最小
7
2b;当x1时，y最大
4b.
设计意图：通过类比探究一和探究二的归纳：求二次函数在动范围上的最值重点体会解题过程中分类标准的确定
【归纳总结】
师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课我们研究了哪些问题？（2）我们是如何分析、解决这些问题的？
设计意图：通过小结，理清本节课的研究内容和研究方法问题、分析问题、解决问题的方法
【分层作业】1、求二次函数y
ax
2
.
.让学生体会提出
.
2x
3在1
x2时二次函数的最值.
2、求二次函数y
x2
2x
c在1x2时二次函数的最值.
.
师生活动：为不同层次的学生准备相对应的练习，可给予适当提示
设计意图：让学生对今天所学的内容加以巩固，学有余力的同学敢于挑战自己.
