江西省赣州市九年级(上)期末数学试卷

九年级（上）期末数学试卷

题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 已知反比例函数y=kx的图象经过点P（-1，2），则这个函数的图象位于（ ）

A. 二、三象限 B. 一、三象限 C. 三、四象限 D. 二、四象限 2. 下列方程中，无实数根的方程是（ ）

A. x2+1=0 B. x2+x=0 C. x2+x−1=0 D. x2=0 3. 下列说法中，正确的是（ ）

A. “打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B. 掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上

C. 为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况，宜采用普查方式调查 D. “x2<0(x是实数)”是随机事件

B，C在⊙O上，4. 如图，点A，已知∠ABC=130°，则∠AOC=（ ）

A. 100∘ B. 110∘ C. 120∘ D. 130∘ 5. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将

△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）

A. (3,1)

2

B. (3,2) C. (2,3) D. (1,3)

6. 二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则下列结论中

错误的是（ ） A. 函数有最小值

B. 当−10 C. a+b+c<0

D. 当x<12，y随x的增大而减小

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 7. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半

径是______．

8. 已知△ABC∽△A′B′C′且S△ABC：S△A′B′C′=1：2，则AB：A′B′=______． 9. 在平面直角坐标系中，点（3，4）关于原点对称的点的坐标是______．

10. 为了估计水塘中的鱼数，老张从鱼塘中捕获200条鱼，在每条鱼身上做好记号后把

这些鱼放归鱼塘．过一段时间，他再从鱼塘中随机打捞200条鱼，发现其中25条鱼有记号．则鱼塘中总鱼数大约为______条．

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11. 如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点

A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD=15cm，AB=60cm，则这个摆件的外圆半径是__________cm.

12. 如图，已知⊙P的半径为2，圆心

P在抛物线y=12x2+x-32上运动，当⊙P与x轴相切时，则圆心P的坐标为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分） 13. 解方程：

2

（1）x-6x+5=0

2

（2）2x-4x+1=0

，CD是斜边上的高，14. 已知如图，Rt△ABC中，∠C=90°

2

求证：CD=AD•BD．

15. 已知m是方程x2-2x-3=0的一个根，求2m2-4m的值．

，AB=6，AC=4，将△ABC绕点A16. 如图，在△ABC中，∠C=90°

逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D

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处，连接BD．求BD的长．

17. 按要求画图：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹．

（1）如图1，画出⊙O的一个内接矩形；

（2）如图2，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD∥AB，画出⊙O的一个内接正方形．

18. 设计师以抛物线y=x2-2x+4的图形为灵感设计杯子，如图所

示，D为此抛物线的顶点，杯子的底座DE在此抛物线的对

B在抛物线上，AB⊥DE，称轴上，点A、垂足为C，若AB=4，

DE=2．请你建立适当的直角坐标系并求出杯子的高CE．

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19. 为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程

中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：

y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （1）写出从药物释放开始，

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到4.5毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

20. 甲口袋中装有2张相同的卡片，它们分别写有数字2和3；乙口袋中装有3张相同

的卡片，它们分别写有数字4，5和6；丙口袋中装有2张相同的卡片，它们分别写有数字7和8．从三个口袋中各随机取出1张卡片．

（1）取出的3张卡片中，恰好3个数都是偶数的概率是多少？

（2）取出的3张卡片上的数之和共有几种不同的数值？分别是多少？ （3）取出的3张卡片上的数之和是偶数的概率是多少？

21. 一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售

价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表： 售价x（元/千克） … 销售量y（千克） … 50 100 60 90 70 80 80 70 … … （1）求y与x的函数关系式； （2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？

（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？

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22. 如图1，直线MN是⊙O的切线，切点为A，弦BC∥MN，连接AB、AC．

（1）求证：AB=AC；

（2）如图2，过点C作CD∥AB交直线MN于点D，交⊙O相交于点E，连接AE、BE．过点A作AH⊥BE于H．求证：BH=CE+EH．

23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），

B（0，-4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）过点O作OP∥AB交抛物线于点P，求点P的坐标；

（3）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 先根据点P的坐标求出反比例函数的比例系数k，再由反比例函数的性质即可得出结果． 【解答】

解：反比例函数y=∴2=

，

的图象经过点P（-1，2），

∴k=-2＜0；

∴函数的图象位于第二、四象限． 故选D．

2.【答案】A

【解析】

1=-4＜0，∴方程无实数根； 解：A、∵△=-4×

B、△=12＞0，有两个不相等实数根；

C、△=12-4×1×（-1）=5＞0，有两个不相等实数根； D、△=0，有两个相等实数根． 故选：A．

根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根分别对每一项进行分析，即可得出答案．

本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞

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0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是本题的关键． 3.【答案】B

【解析】

解：选项A中的事件是随机事件，故选项A错误； 选项B中的事件是随机事件，故选项B正确；

选项C中的事件应采取抽样调查，普查不合理，故选项C错误； 选项D中的事件是不可能事件，故选D错误； 故选：B．

根据选项中的事件可以分别判断是否正确，从而可以解答本题．

本题考查概率的意义、全面调查与抽样调查、随机事件，解题的关键是明确概率的意义，根据实际情况选择合适的调查方式． 4.【答案】A

【解析】

解：在优弧AC上取点D，连接AD，CD， ， ∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=130°-10°=50°． ∴∠D=180°

∵∠D与∠AOC是同弧所对的圆周角与圆心角， ． ∴∠AOC=2∠D=100°故选：A．

在优弧AC上取点D，连接AD，CD，根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数，由圆周角定理即可得出结论．

本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 5.【答案】D

【解析】

解：如图，点A′的坐标为（1，3）． 故选D．

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根据网格结构找出点A、B旋转后的对应点A′、B′的位置，然后与点O顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标．

本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解更简便． 6.【答案】B

【解析】

解：A、由图象可知函数有最小值，故正确； B、由抛物线可知当-1＜x＜2时，y＜0，故错误； C、当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，故正确；

D、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确． 故选：B．

A、观察可判断函数有最小值；B、由抛物线可知当-1＜x＜2时，可判断函数值的符号；C、观察当x=1时，函数值的符号，可判断a+b+c的符号；D、由抛物线对称轴和开口方向可知y随x的增大而减小，可判断结论．

本题考查了二次函数图象的性质与解析式的系数的关系．关键是熟悉各项系数与抛物线的各性质的联系． 7.【答案】2

【解析】

解：扇形的弧长==4π，

∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2． 故答案为：2．

易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．

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考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 8.【答案】1：2

【解析】

22

解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴S△ABC：S△A′B′C′=AB：A′B′=1：2，∴AB：A′B′=1：

．

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 本题的关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方． 9.【答案】（-3，-4）

【解析】

解：点（3，4）关于原点对称的点的坐标是（-3，-4）． 故答案为：（-3，-4）．

根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．

本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 10.【答案】1600

【解析】

解：∵池塘中有记号的鱼所占的百分比为：12.5%=1600． ∴池塘有鱼200÷故答案为：1600．

×100%=12.5%，

首先求出有记号的25条鱼在200条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想． 11.【答案】37.5

【解析】

解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC， ∵CD=15cm，AB=60cm，

∵CD⊥AB， ∴OC⊥AB，

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∴AD=AB=30cm，

∴设半径为rcm，则OD=（r-15）cm，

222

根据题意得：r=（r-15）+30，

解得：r=37.5．

∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm； 故答案为：37.5．

根据垂径定理求得AD=30cm，然后根据勾股定理得出方程，解方程即可求得半径．

本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．

12.【答案】（-1+22，2）或（-1-22，2）或（-1，-2）

【解析】

解：∵⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=运动，

∴当⊙P与x轴相切时，假设切点为A， ∴PA=2，

2 ∴y=±即

+x-=2或y=

+x-上=-2，

+x-上

2解得x=-1±，或x=-1，

，2）或（-1-2

，2）或（-1，-2）．

∴P点的坐标为：（-1+2故答案为：（-1+2

，2）或（-1-2，2）或（-1，-2）．

2，求出x的值即可根据⊙P的半径为2，以及⊙P与x轴相切，即可得出y=±得出答案．

此题主要考查了图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得出y=2，求出x的值是解决问题的关键．

13.【答案】解：（1）（x-1）（x-5）=0，

x-1=0或x-5=0， 所以x1=1，x2=5．

2

（2）x-2x=-12， x2-2x+1=1-12，

2

（x-1）=12， x-1=±22，

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所以x1=1+22，x2=1-22． 【解析】

（1）利用因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程．

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解一元二次方程． 14.【答案】证明：∵CD是斜边AB上的高．

∴∠ADC=∠CDB=90°，

又∵在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°

∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠A=∠BCD， ∴△ACD∽△CBD， ∴ADCD=CDBD，

2

∴CD=AD•BD． 【解析】

根据CD是斜边AB上的高，利用直角三角形两锐角互余的性质求证∠A=∠BCD，然后即可求证△ACD∽△CBD，利用相似三角形对应边成比例即可求得结论．

此题主要考查相似三角形的判定与性质，关键是利用直角三角形两锐角互余的性质求证∠A=∠BCD．

15.【答案】解：∵m是关于x的方程x2-2x-3=0的一个根，

22

∴m-2m-3=0，即m-2m=3，

22

∴2m-4m=2（m-2m）=6， 【解析】

22

根据一元二次方程的解的定义得m-2m-3=0，即m-2m=3，将其代入到原式

=2（m2-2m）可得答案．

本题主要考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．

，AB=6，AC=4， 16.【答案】解：∵在△ABC中，∠C=90°

∴BC=AB2−AC2=25 ∵旋转

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∴AE=AC=4，DE=BC=25，∠ADE=90°

∴BE=2

在Rt△BDE中，BD=BE2+DE2=26 【解析】

根据勾股定理可求BC=2

，由旋转的性质可得AE=AC=4，DE=BC=2

，

，可求BE=2，再根据勾股定理可求BD的长． ∠ADE=90°

本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．

17.【答案】解：（1）如图所示，过O作⊙O的直径AC与BD，连接AB，BC，CD，

DA，则四边形ABCD即为所求；

（2）如图所示，延长AC，BD交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF并延长交⊙O

于G，H，连接AH，HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求．

【解析】

（1）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，画出圆的两条直径，即可得到⊙O的一个内接矩形；

（2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与AB互相垂直，即可得到⊙O的内接正方形．

本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉

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基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

18.【答案】解：∵y=x2-2x+4=2（x-1）2+3，

∴抛物线顶点D的坐标为（1，3）， ∵AB=4，

∴B点的横坐标为x=3，

2

把x=3代入y=x-2x+4，得到y=7， ∴CD=7-3=5，

∴CE=CD+DE=5+2=7． 【解析】

2

首先由y=x-2x+4求出D点的坐标为（1，3），然后

根据AB=4，可知B点的横坐标为x=2，代入

y=x2-2x+4，得到y=7，所以CD=7-3=5，又DE=2，所以可知杯子高度． 本题主要考查了二次函数的应用以及数形结合求点的坐标，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．

19.【答案】（1）解：正比例函数是y=kx，

反比例函数是y=mx， 把点（12，9）分别代入，

k=34，m=108，

所以两个函数解析式分别是y=34x，y=108x

（2）当y=4.5时108x=4.5， 解得：x=24，

答：至少需要24分钟才能进入教室； 【解析】

（1）首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=为常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）根据（1）中的关系式列不等式，进一步求解可得答案．

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（m

本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

20.【答案】解：（1）画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中3个数都是偶数的有2种结果， 所以3个数都是偶数的概率为212=16；

（2）取出的3张卡片上的数之和共有4种不同的数值，分别是13，14，15，16，17；

（3）取出的3张卡片上的数之和有12种等可能结果，其中和为偶数的有6种结果， 所以取出的3张卡片上的数之和是偶数的概率是612=12． 【解析】

（1）分3步列举出所有可能出现的结果，再确定出恰好3个数都是偶数的结果数，根据概率公式求解可得；

（2）求出3张卡片上的数字之和即可得出答案；

（3）取出的3张卡片上的数之和是偶数的情况数占总情况数的多少即可． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

21.【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得

50k+b=10060k+b=90， 解得k=−1b=150．

故y与x的函数关系式为y=-x+150；

（2）根据题意得

（-x+150）（x-20）=4000，

解得x1=70，x2=100＞90（不合题意，舍去）．

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故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；

（3）w与x的函数关系式为： w=（-x+150）（x-20） =-x2+170x-3000

=-（x-85）2+4225， ∵-1＜0，

∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225．

∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元． 【解析】

（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．

（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；

（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．

本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法．

【答案】证明：（1）∵直线MN是⊙O的切线，切点为A， 22.

∴∠MAB=∠ACB， ∵MN∥BC，

∴∠MAB=∠ABC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC；

（2）作AF⊥CD于F，

∵四边形ABCE是圆内接四边形， ∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB， ∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB， ∴∠AEH=∠AEF，

在△AEH和△AEF中，

∠AHE=∠AFE∠AEH=∠AEFAE=AE， ∴△AEH≌△AEF（AAS）， ∴EH=EF， ∴CE+EH=CF，

在△ABH和△ACF中

∠ABH=∠ACF∠AHB=∠AFCAB=AC， ∴△ABH≌△ACF（AAS）， ∴BH=CF=CE+EH． 【解析】

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（1）根据弦切角定理和圆周角定理证明∠ABC=∠ACB，得到答案；

（2）作AF⊥CD于F，证明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根据△ABH≌△ACF，得到答案．

本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，注意圆周角定理和圆内接四边形的性质的运用．

23.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

0）B-4）C0）将A（-4，，（0，，（2，代入y=ax+bx+c，得：16a−4b+c=0c=−44a+2b+c=0，

解得：a=12b=1c=−4，

2

∴抛物线的解析式为y=12x+x-4．

（2）设直线AB的解析式为y=kx+d（k≠0），

将A（-4，0），B（0，-4）代入y=kx+d，得：−4k+d=0d=−4， 解得：k=−1d=−4，

∴直线AB的解析式为y=-x+4． ∵OP∥AB且过原点O，

∴直线OP的解析式为y=-x．

联立直线OP及抛物线的解析式成方程组，得：y=−xy=12x2+x−4， 解得：x1=−2−23y1=2+23，x2=−2+23y2=2−23， ∴点P的坐标为（-2-23，2+23）或（-2+23，2-23）． （3）过点M作ME⊥x轴，垂足为点E，ME与AB交于点F，如图所示．

∵点M的横坐标为m，

2

∴点M的坐标为（m，12m+m-4）（-4＜m＜0），点E的坐标为（m，0），点F的坐标为（m，-m-4），

2

∴ME=-12m-m+4，AE=4+m，OE=-m， ∴S=S△AME+S梯形EMBO-S△ABO，

=12AE•ME+12（ME+OB）•OE-12OA•OB，

=12（4+m）（-12m2-m+4）+12（-12m2-m+4+4）•（-m）-12×4×4， =-m2-4m=-（m+2）2+4． ∵-1＜0，

∴当m=-2时，S取得最大值，最大值为4．

2

∴S关于m的函数关系式为S=-m-4m（-4＜m＜0），S的最大值为4． 【解析】

2

（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，由OP∥AB可得出直线OP的解析式，联立直线OP及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点P的坐标；

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（3）过点M作ME⊥x轴，垂足为点E，ME与AB交于点F，由点M的横坐标可得出点M，E，F的坐标，进而可得出ME，AE，OE的长度，利用分割图形求面积法可找出S关于m的函数关系式，再利用配方法即可求出S的最大值． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、梯形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用待定系数法即平行线的性质，找出直线OP的解析式；（3）利用分割图形求面积法，找出S关于m的函数关系式．

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